東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2020年8月実施 専門科目 B 第16問

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Author

Miyake

Description

質量が $m$ のおもりを $N$ 個用意し、図のように長さが $l$ の $N$ 本のひもで順につないで天井からぶら下げる。 ひもはたわんだり伸び縮みしたりせず、ひもの重さは無視でき、おもりの運動は鉛直軸を含む一定の平面内で起こるものとする。 また、時刻を $t$、重力加速度を $g$ で表すことにする。 図のように、運動が行われる平面の $xy$ 座標を、天井とひもとの固定点を原点とし、水平方向が $x$、鉛直下向きを $y$ となるように定める。 上から数えて $i$ 番目のおもりの水平方向の位置座標を $x_i$ とする。

(1) どの $|x_i|$ も十分小さいという仮定のもとで、この系のLagrangian $L$、および $L$ から得られる Euler-Lagrange 方程式を求めよ。 ただし、こうして得られる Euler-Lagrange 方程式は、線型の微分方程式になるものとする。

(2) (1)で求めた線型微分方程式の解で、定数 $\omega$ を用いて

$$x_i = A_i \sin{\omega t} \ \ \ \ \ (i = 1, 2, \cdots, N)$$

と表される解に興味があるとする。 このとき、最高次の係数が $1$ のある整数係数 $N$ 次多項式 $P_N (X)$ が存在し、上の形の解が存在するための必要十分条件が、$P_N(\omega^2 \frac{l}{g})=0$ と表されることを示せ。

(3) 多項式列 $\{P_N(X) \mid N = 1, 2, 3, \cdots\}$ を特徴付ける漸化式を一つ求めよ。

Kai

(1)

位置座標 $x$ の時間微分 $dx/dt, d^2x/dt^2$ を それぞれ $\dot{x}, \ddot{x}$ のように表す。

どの $|x_i|$ も十分に小さく、 得られる Euler-Lagrange 方程式が線型の微分方程式とのことなので、 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは $\{x_i\}$ に関して2次まで求めればよい。

上から数えて $i$ 番目のおもりのy座標を $y_i$ とすると、 次が成り立つ：

$$\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2 &= l^2 , \\ (x_n - x_{n-1})^2 + (y_n - y_{n-1})^2 &= l^2 \ \ \ \ (n = 2, 3, \cdots, N) \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} y_1 &\simeq l - \frac{x_1^2}{2l} , \\ y_n &\simeq nl - \frac{1}{2l} \left( x_1^2 + \sum_{j=1}^{n-1} (x_j - x_{j+1})^2 \right) \ \ \ \ (n = 2, 3, \cdots, N) \end{aligned}$$

なので、この系のポテンシャルエネルギーは（基準点を適当に選んで）

$$\begin{aligned} U &= - mg \sum_{i=1}^N y_i \\ &\simeq - mg \left[ \frac{1}{2}N(N+1) l - \frac{1}{2l} \left( N x_1^2 + \sum_{j=1}^{N-1} (N-j) (x_j - x_{j+1})^2 \right) \right] \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial x_1} &\simeq \frac{mg}{l} \left[ (2N-1) x_1 - (N-1) x_2 \right] , \\ \frac{\partial U}{\partial x_n} &\simeq \frac{mg}{l} \left[ -(N-n+1) x_{n-1} + (2N-2n+1) x_n - (N-n) x_{n+1} \right] & \ \ \ \ (n = 2, 3, \cdots, N-1) , \\ \frac{\partial U}{\partial x_N} &\simeq \frac{mg}{l} \left[ - x_{N-1} + x_N \right] \end{aligned}$$

である。

また、 $\dot{x}_i$ にくらべて $\dot{y}_i$ は十分小さいので、 この系の運動エネルギーは

$$\begin{aligned} T &= \frac{1}{2} m \sum_{i=1}^N \left( \dot{x}_i^2 + \dot{y}_i^2 \right) \\ &\simeq \frac{1}{2} m \sum_{i=1}^N \dot{x}_i^2 \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_n} &\simeq m \dot{x}_n & \ \ (n = 1, 2, \cdots, N) \end{aligned}$$

である。

よって、Langrangian $L$ は、

$$\begin{aligned} L &= T - U \\ &\simeq \frac{1}{2} m \sum_{i=1}^N \dot{x}_i^2 + mg \left[ \frac{1}{2}N(N+1) l - \frac{1}{2l} \left( N x_1^2 + \sum_{j=1}^{N-1} (N-j) (x_j - x_{j+1})^2 \right) \right] \end{aligned}$$

であり、Euler-Lagrange 方程式は、

$$\begin{aligned} \ddot{x}_1 &= - \frac{g}{l} \left[ (2N-1) x_1 - (N-1) x_2 \right] , \\ \ddot{x}_n &= - \frac{g}{l} \left[ -(N-n+1) x_{n-1} + (2N-2n+1) x_n - (N-n) x_{n+1} \right] & \ \ \ \ (n = 2, 3, \cdots, N-1) , \\ \ddot{x}_N &= - \frac{g}{l} \left[ - x_{N-1} + x_N \right] \end{aligned}$$

である。

(2)

(1) で得た運動方程式に $x_i = A_i \sin \omega t \ \ (i = 1, 2, \cdots N)$ を代入して整理すると、次のようになる：

$$\begin{align} \left( \omega^2 \frac{l}{g} I_N - B_N \right) \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \tag{a} \end{align}$$

ただし、 $I_N$ は $N$ 次の単位行列で、 $B_N$ は $i,j$ 成分が次のように与えられる $N$ 次正方行列である：

$$\begin{aligned} (B_N)_{i,j} &= \begin{cases} 2N-2i+1, &(i-j=0) \\ -N+i, &(i-j=-1)\\ -N+i-1, &(i-j=1)\\ 0, &(\text{otherwise}) \end{cases} \end{aligned}$$

($a$) が自明な解 $A_1 = A_2 = \cdots = A_N = 0$ 以外の解 $A_1, A_2, \cdots, A_N$ をもつための必要十分条件は

$$\begin{aligned} \det \left( \omega^2 \frac{l}{g} I_N - B_N \right) = 0 \end{aligned}$$

であるが、これの左辺は $\omega^2 l/g$ に関して 最高次の係数が $1$ の整数係数の $N$ 次の多項式である。 よって、

$$\begin{aligned} P_N(X) = \det \left( X I_N - B_N \right) \end{aligned}$$

として、題意を満たすことがわかる。

(3)

$N = 1, 2, \cdots$ について、

$$\begin{aligned} P_{N+2} (X) &= \det \begin{pmatrix} X-(2N+3) & N+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ N+1 & X-(2N+1) & N & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & N & X-(2N-1) & N-1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & N-1 & X-(2N-3) & N-2 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \\ &= (X-(2N+3)) \det \begin{pmatrix} X-(2N+1) & N & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ N & X-(2N-1) & N-1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & N-1 & X-(2N-3) & N-2 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \\ & \ \ \ \ - (N+1) \det \begin{pmatrix} N+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ N & X-(2N-1) & N-1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & N-1 & X-(2N-3) & N-2 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \\ &= (X-(2N+3)) \det \begin{pmatrix} X-(2N+1) & N & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ N & X-(2N-1) & N-1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & N-1 & X-(2N-3) & N-2 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \\ & \ \ \ \ - (N+1)^2 \det \begin{pmatrix} X-(2N-1) & N-1 & 0 & 0 & \cdots \\ N-1 & X-(2N-3) & N-2 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{pmatrix} \\ &= (X-(2N+3)) P_{N+1}(X) - (N+1)^2 P_N(X) \end{aligned}$$

が成り立つ。