東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2019年8月実施専門科目 A 第1問

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祭音Myyura (with GPT 5.5)

次の行列が対角化可能となるために複素数が満たすべき必要十分条件を求めよ。

ただし、行列が対角化可能であるとは、複素数を成分とする正則行列がそ存在して、が対角行列となることである。

行列は上三角行列であるから，固有値は対角成分より

である。したがって，固有値の代数的重複度は少なくともである。

固有値は

であり，の代数的重複度は，の代数的重複度はである。

対角化可能であるためには，固有値に対する固有空間の次元がであればよい。

である。固有空間の次元がとなるためには，

であればよい。

ここでなので，第 2 行は零ベクトルではない。したがって，第 1 行と第 2 行が一次従属であることが必要十分である。

つまり，

であればよい。

よって，

すなわち

である。

このとき固有値はのみであり，代数的重複度はである。

対角化可能なら，対角化後の行列は

である。したがって，もとの行列も

でなければならない。

よって，

が必要十分条件である。

行列が対角化可能であるための必要十分条件は，

の と き ， の と き ，