東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2019年8月実施専門科目 A 第1問

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祭音Myyura (with GPT 5.5)

次の行列 $M$ が対角化可能となるために複素数 $a,b,c,d,e$ が満たすべき必要十分条件を求めよ。

M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & a\\ \end{pmatrix}

ただし、行列 $M$ が対角化可能であるとは、複素数を成分とする正則行列 $P$ がそ存在して、 $P^{-1}MP$ が対角行列となることである。

行列 $M$ は上三角行列であるから，固有値は対角成分より

a,\ d,\ a

である。したがって，固有値 $a$ の代数的重複度は少なくとも $2$ である。

固有値は

a,\ d

であり， $a$ の代数的重複度は $2$ ， $d$ の代数的重複度は $1$ である。

対角化可能であるためには，固有値 $a$ に対する固有空間の次元が $2$ であればよい。

M-aI= \begin{pmatrix} 0 & b & c\\ 0 & d-a & e\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

である。固有空間の次元が $2$ となるためには，

\operatorname{rank}(M-aI)=1

であればよい。

ここで $d-a\neq 0$ なので，第 2 行は零ベクトルではない。したがって，第 1 行と第 2 行が一次従属であることが必要十分である。

つまり，

\begin{vmatrix} b & c\\ d-a & e \end{vmatrix} =0

であればよい。

よって，

be-c(d-a)=0

すなわち

\boxed{be=(d-a)c}

である。

このとき固有値は $a$ のみであり，代数的重複度は $3$ である。

対角化可能なら，対角化後の行列は

aI

である。したがって，もとの行列も

M=aI

でなければならない。

よって，

\boxed{b=c=e=0}

が必要十分条件である。

行列 $M$ が対角化可能であるための必要十分条件は，

\boxed{ \begin{cases} d\neq a \text{ のとき，} be=(d-a)c,\\ d=a \text{ のとき，} b=c=e=0. \end{cases} }