東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2025年8月実施 第3問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

整数方程式

$$97x+41y=4$$

について答えよ。

1. 整数解を1組求めよ。
2. $|x+y+40|$ を最小にする整数解と最小値を求めよ。

Kai

(1)

Euclid の互除法を逆にたどると

$$1=97\cdot11-41\cdot26.$$

したがって

$$4=97\cdot44+41\cdot(-104),$$

より、例えば

$$\boxed{(x,y)=(44,-104)}.$$

(2)

一般解は

$$x=44+41n,\qquad y=-104-97n\qquad(n\in\mathbb Z).$$

よって

$$|x+y+40|=|-20-56n|=4|5+14n|.$$

$n=0$ で最小となるので、

$$\boxed{(x,y)=(44,-104),\qquad \min|x+y+40|=20}.$$

Reference

• 東京大学 海洋技術環境学専攻「過去の試験問題」
• 2021年～2025年8月実施分（公式PDF）