東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2025年8月実施 第1問

标签：

• 东京大学
• 曲线积分
• 格林恒等式

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$C$ を円 $x^2+y^2=r^2$ の周上を反時計回りに一周する閉曲線とする。次の積分を求めよ。

$$I=\oint_C(-y+e^x)\,dx+(\sin y+x)\,dy$$

Kai

$C$ の内部を $D$ とすると、Green の定理より

$$\begin{aligned} I &=\iint_D\left\{\frac{\partial(\sin y+x)}{\partial x} -\frac{\partial(-y+e^x)}{\partial y}\right\}dx\,dy\\ &=2\iint_D dx\,dy =\boxed{2\pi r^2}. \end{aligned}$$

Reference

• 東京大学 海洋技術環境学専攻「過去の試験問題」
• 2021年～2025年8月実施分（公式PDF）