東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2023年8月実施 第6問

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Author

Miyake

Description

洋上⾵⼒発電は海上⾵によって発電する。海上⾵の⾵速 $V$ が⾼度 $Z$ のみの関数であり、⾵速 $V$ の微分が⾼度 $Z$ に反⽐例するものとする。 ただし、$Z \geq 0.125$ とする。 また、⾼度 $Z=0.125、Z=8$ において⾵速 $V$ はそれぞれ $0、6$ であるとする。次の問いに答えよ。

(1) ⾼度 $Z=128$ における⾵速を求めよ。

(2) ⾼度 $Z$ を通過する海上⾵のパワー $P$ はその⾼度の⾵速 $V$ の三乗に⽐例する。⾼度 $Z=128$ を通過する海上⾵のパワー $P$ は、⾼度 $Z=32$ の場合と⽐べ何倍になるか。

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Offshore wind turbines generate electricity by utilizing the ocean wind. Assume the wind speed $V$ is a function of only the altitude $Z$, and the derivative of the wind speed $V$ is proportional to the inverse of the altitude $Z$, where $Z \geq 0.125$. Provided that the wind speed $V$ is $0$ and $6$ at the altitude $Z=0.125$ and $Z=8$, respectively, answer the following questions.

(1) Find the wind speed $V$ at the altitude $Z=128$.

(2) Given the power $P$ of the ocean wind passing at the altitude $Z$ to be linearly proportional to the cubic of the wind speed $V$ at the altitude $Z$, how many times large is the power $P$ of the ocean wind at the altitude $Z=128$ compared to the case of $Z=32$?

Kai

(1)

$dV/dZ$ は $Z$ に反比例するので、適当な定数 $a \ (\ne 0)$ を使って

$$\begin{aligned} \frac{dV}{dZ} = \frac{a}{Z} \end{aligned}$$

と書け、積分すると

$$\begin{aligned} V &= a \ln \frac{Z}{Z_0} &\left( Z_0 \text{ は積分定数 }, \ \ \ln \text{ は自然対数 } \right) \\ &= b \log_2 \frac{Z}{Z_0} &\left( b = \frac{a}{\log_2 e}, \ \ e \text{ は自然対数の底 } \right) \end{aligned}$$

となる。$Z=0.125$ のとき $V=0$ であることから

$$\begin{aligned} 0 &= b \log_2 \frac{0.125}{Z_0} \\ \therefore \ \ Z_0 &= 0.125 = \frac{1}{8} \end{aligned}$$

がわかる。よって、

$$\begin{aligned} V &= b \log_2 (8Z) \\ &= b \left( \log_2 Z + 3 \right) \end{aligned}$$

である。さらに、 $Z=8$ のとき $V=6$ であることから

$$\begin{aligned} 6 &= b \left( \log_2 8 + 3 \right) \\ \therefore \ \ b &= 1 \end{aligned}$$

がわかる。よって、

$$\begin{aligned} V &= \log_2 Z + 3 \end{aligned}$$

である。したがって、 $Z=128$ のとき

$$\begin{aligned} V &= \log_2 128 + 3 \\ &= 10 \end{aligned}$$

である。

(2)

$Z=32$ のとき

$$\begin{aligned} V &= \log_2 32 + 3 \\ &= 8 \end{aligned}$$

である。よって、高度 $Z=128$ を通過する海上風のパワーは、高度 $Z=32$ の場合と比べ、

$$\begin{aligned} \frac{10^3}{8^3} = \frac{125}{64} \end{aligned}$$

倍である。