東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2023年8月実施 第5問

标签：

• Tokyo-University
• Geometric-Distribution
• Conditional-Probability

Author

Miyake

Description

ある観測機器は1年間稼働すると10％の確率で故障する。この観測機器を稼働開始してから3年後に回収した。以下の問いに答えよ。

(1) 観測機器が故障していない確率を求めよ。

(2) 観測機器が故障していた場合、2年⽬に故障した確率を求めよ。

---

An observation equipment has a 10% probability of failure during each year of operation. Suppose this observation equipment is recovered three years after it was deployed.

(1) Find the probability that the observation equipment has not failed.

(2) If the observation equipment was found to have failed, what is the probability that it failed in year two?

题目描述

某观测设备每运行一年有 $10\%$ 的故障概率，部署并运行三年后回收。按各年在设备仍正常时面临同一故障概率的模型，回答：

1. 求回收时设备仍未故障的概率。
2. 已知回收时发现设备已经故障，求它恰在第 2 年发生故障的条件概率。

考点

• 几何分布式寿命：把每年存活概率连续相乘，计算前三年无故障及首次在指定年份故障的概率。
• 条件概率：以“三年内已故障”为条件，对“第二年首次故障”的概率重新归一化。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{729}{1000} \end{aligned}$$

(2)

2年目に故障する確率は

$$\begin{aligned} \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{100} \end{aligned}$$

なので、求める条件付き確率は

$$\begin{aligned} \frac{\frac{9}{100}}{ 1 - \frac{729}{1000}} = \frac{9}{100} \cdot \frac{1000}{271} = \frac{90}{271} \end{aligned}$$

である。