東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2023年8月実施 第3問

标签：

• Tokyo-University
• Prime-Diophantine-Equation

Author

祭音Myyura

Description

素数 $a, b$ を⽤いて $a^b + b^a$ と表される素数をすべて求めよ。

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Find all the prime numbers represented by $a^b + b^a$, where $a$ and $b$ are prime numbers.

题目描述

设 $a,b$ 均为素数。求所有仍为素数的数

$$a^b+b^a;$$

需要遍历并排除所有可能的素数参数情形，而不只是求一组例子。

考点

• 素数型丢番图分析：按 $a,b$ 是否为 2 分类，利用奇偶性与因数分解判断 $a^b+b^a$ 何时可能为素数。

Kai

If $a,b>2$ are odd primes, then $a^b$ and $b^a$ are both odd, so $a^b+b^a$ is even and $>2$.

Hence one of $a,b$ must be $2$. Let the other be an odd prime $p$. Then

$$a^b+b^a=2^p+p^2.$$

For $p\neq 3$, note $2^p\equiv 2\pmod 3$ (since $p$ is odd) and $p^2\equiv 1\pmod 3$, so $2^p+p^2\equiv 0\pmod 3$.

For $p=3$, $2^3+3^2=8+9=17$, which is prime.

Also, $a=b=2$ gives $8$, not prime.

Therefore, the only prime of the form $a^b+b^a$ with $a,b$ prime is

$$\boxed{17}\quad\text{(from }(a,b)=(2,3)\text{ or }(3,2)\text{).}$$