東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2021年8月実施 第1問~第4問

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Miyake

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第1問

以下の定積分の値を求めよ。

$$\int_0^{\pi} e^x \sin(x) \cos(x) dx$$

第2問

$\text{O} - xyz$座標系上に点$A$、$B$、$C$がそれぞれ$(4, 5, 7)$、$(2, 1, 3)$、$(9, 7, 6)$で与えられる時、以下を求めよ。

(1) 三角形 $OAB$ の面積。

(2) 四面体 $OABC$ の体積。

第3問

観測点 $O$ から $200$ メートル離れた同じ水平面上にある地点 $P$ から、鉛直に毎分 $25$ メートルの速度で風船を上げる。 風船の位置を $B$ とし、観測点から風船を見上げた角度を $\angle BOP$ とする。 風船が地点 $P$ から $100$ メートルの高さに達したとき、$\angle BOP$ の時間変化率を求めよ。ただし、風船の大きさは考えない。

第4問

図のように直線上を無数の光源が一定の間隔 $D$ を保って移動している。光は光源から放 射状に広がり、受信機は光源から $D$ の距離まで光を受信できるものとする。受信機は光 源が並ぶ直線から距離 $L$ だけ離れた平行な直線の上に一定の間隔 $D/2$ で固定されてい る。光源と受信機の大きさは無視する。

(1) $1$ つの光源からの光を常に $1$ つ以上の受信機で受信できる $L$ の最大値を求めよ。

(2) $1$ つの光源からの光を常に $2$ つ以上の受信機で受信できる $L$ の最大値を求めよ。

题目描述

回答以下四题：

1. 计算
   $$\int_0^\pi e^x\sin x\cos x\,dx.$$
2. 在三维坐标系中给定
   $$A=(4,5,7),\quad B=(2,1,3),\quad C=(9,7,6).$$
   1. 求三角形 $OAB$ 的面积；
   2. 求四面体 $OABC$ 的体积。
3. 地点 $P$ 与同一水平面上的观测点 $O$ 相距 200 米，气球从 $P$ 以每分钟 25 米的速度竖直上升，位置记为 $B$，仰角为 $\angle BOP$。当气球高出 $P$ 100 米时，求该仰角对时间的变化率；忽略气球大小。
4. 如上图，无限多个光源沿一直线运动且相邻间距恒为 $D$；光从每个光源径向传播，接收机仅能在距光源不超过 $D$ 时接收。接收机固定在与光源轨迹平行、相距 $L$ 的直线上，相邻接收机间距为 $D/2$；忽略光源与接收机尺寸。
   1. 求使任一光源在任意位置始终至少被 1 台接收机接收到时 $L$ 的最大值；
   2. 求始终至少被 2 台接收机接收到时 $L$ 的最大值。

Kai

第1問

$$\begin{aligned} I &= \int_0^\pi e^x \sin(x) \cos(x) dx \\ &= \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x \sin(2x) dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ e^x \sin(2x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x \cos(2x) dx \\ &= - \left[ e^x \cos(2x) \right]_0^\pi - 2 \int_0^\pi e^x \sin(2x) dx \\ &= - e^\pi + 1 - 4I \\ \therefore \ \ 5 I &= 1 - e^\pi \\ \therefore \ \ I &= \frac{1 - e^\pi}{5} \end{aligned}$$

第2問

(1)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{\mathrm{OA}} \times \overrightarrow{\mathrm{OB}} \right| &= \frac{1}{2} \left| (8, 2, -6) \right| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{26} \\ &= \sqrt{26} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} \times \overrightarrow{\mathrm{OB}} \right) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} \right| &= \frac{1}{6} \cdot 50 \\ &= \frac{25}{3} \end{aligned}$$

第3問

$\theta = \angle \mathrm{BOP}$ (ラジアン) とし、

$\mathrm{B}$ の $\mathrm{P}$ からの高さを $h$ (メートル) とする。

また、それぞれの時間変化率 (毎分) を $\dot{\theta}, \dot{h} = 25$ とする。 このとき、

$$\begin{aligned} \tan \theta = \frac{h}{200} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\dot{\theta}}{\cos^2 \theta} = \frac{\dot{h}}{200} \end{aligned}$$

が成り立つ。

よって、 $h=100$ のとき $\tan \theta = 1/2$ したがって $\cos^2 \theta = 4/5$ であるので、このとき、

$$\begin{aligned} \dot{\theta} &= \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{200} \\ &= \frac{1}{10} \end{aligned}$$

である。

第4問

(1)

1つの光源を中心とする半径 $D$ の円を考える。

1つの受信機がこの円から出る瞬間に、その隣の受信機がこの円に入るとすると、

$$\begin{aligned} L^2 &= D^2 - \left( \frac{D}{4} \right)^2 \\ &= \frac{15}{16} D^2 \\ \therefore \ \ L &= \frac{\sqrt{15}}{4} D \end{aligned}$$

であり、これが求める $L$ の最大値である。

(2)

1つの光源を中心とする半径 $D$ の円を考える。

1つの受信機がこの円から出る瞬間に、その隣の隣の受信機がこの円に入るとすると、

$$\begin{aligned} L^2 &= D^2 - \left( \frac{D}{2} \right)^2 \\ &= \frac{3}{4} D^2 \\ \therefore \ \ L &= \frac{\sqrt{3}}{2} D \end{aligned}$$

であり、これが求める $L$ の最大値である。