東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2019年8月実施 第1問~第5問

Author

Miyake

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第1問

次の定積分を求めよ。

第2問

整数 、任意の実数 について、変数 、 を以下のように定義する。

ただし、、、 である。

この時、以下の問いを答えよ。

1) を 、 で表せ。

2) 、 の満たす関係を求めよ。

第3問

について以下の問いに答えよ。

1) を求めよ。

2) となることを示せ。

第4問

座標系 上の三角形 が、座標系 上の三角形 に変換された。 この時、座標系 上の任意の点 から座標系 上の点 への変換を求めよ。

第5問

行列 について、以下の問いに答えよ。ただし は実数で、 とする。

1) 固有値、固有ベクトルを求めよ。

2) を求めよ。ただし、 は自然数である。

3) を求めよ。

Kai

第1問

第2問

1)

なので、 を得る。

2)

であり、これを積分すると、積分定数を として、

である。 のとき なので、 がわかり、

を得る。

第3問

1)

掃き出し法により、次のように求められる：

2)

サラスの方法より、

なので、 が成り立っていることがわかる。

第4問

から への変換は次のように表される：

点 A, B, C がそれぞれ 点 A', B', C' に変換されることから、

がわかる。 つまり、

である。

第5問

1)

の固有値を とすると、

を得る。 なので、これらは相異なる固有値である。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるために

とおくと であり、 固有値 に属する固有ベクトルを求めるために

とおくと であるから、それぞれに属する固有ベクトルは例えば

である。

2)

1) で求めた固有ベクトルを使って、

とおくと、

が成り立つので、

を得る。

3)

より なので、

であり、

を得る。