東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2019年8月実施 第1問~第5問

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Miyake

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第1問

次の定積分を求めよ。

$$I = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

第2問

整数 $m$、任意の実数 $\theta$ について、変数 $x$、$y$ を以下のように定義する。

$$\left\{ \begin{aligned} x(\theta) &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\theta^{2m}}{(2m)!} \\ y(\theta) &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} \end{aligned} \right.$$

ただし、$m! \equiv m \times (m-1) \times (m-2) \times \cdots \times 2 \times 1$、$0! = 1$、$0^0 = 1$ である。

この時、以下の問いを答えよ。

1) $\frac{dx}{dy}$ を $x$、$y$ で表せ。

2) $x$、$y$ の満たす関係を求めよ。

第3問

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4\\ \end{pmatrix}$$

について以下の問いに答えよ。

1) $A^{-1}$ を求めよ。

2) $|A^{-1}|= \frac{1}{|A|}$ となることを示せ。

第4問

座標系 $\text{O}xy$ 上の三角形 $ABC$ が、座標系 $\text{O}x'y'$ 上の三角形 $A'B'C'$ に変換された。 この時、座標系 $\text{O}xy$ 上の任意の点 $\vec{x}$ から座標系 $\text{O}x'y'$ 上の点 $\vec{x'}$ への変換を求めよ。

第5問

行列 $A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えよ。ただし $a$ は実数で、$0<a<1$ とする。

1) 固有値、固有ベクトルを求めよ。

2) $A^n$ を求めよ。ただし、$n$ は自然数である。

3) $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n$ を求めよ。

Kai

第1問

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} \\ &= \left[ \log \left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right|\right]_0^{\sqrt{3}} \\ &= \log \left( 2 + \sqrt{3} \right) \end{aligned}$$

第2問

1)

$$\begin{aligned} \frac{dx(\theta)}{d \theta} &= \sum_{m=1}^\infty \frac{\theta^{2m-1}}{(2m-1)!} \\ &= y(\theta) \\ \frac{dy(\theta)}{d \theta} &= \sum_{m=0}^\infty \frac{\theta^{2m}}{(2m)!} \\ &= x(\theta) \end{aligned}$$

なので、$\frac{dx}{dy} = \frac{\frac{dx}{d \theta}}{\frac{dy}{d \theta}} = \frac{y}{x}$ を得る。

2)

$$\begin{aligned} x dx = y dy \end{aligned}$$

であり、これを積分すると、積分定数を $C$ として、

$$\begin{aligned} x^2 = y^2 + C \end{aligned}$$

である。 $\theta = 0$ のとき $x=1, y=0$ なので、 $C=1$ がわかり、

$$\begin{aligned} x^2 - y^2 = 1 \end{aligned}$$

を得る。

第3問

1)

掃き出し法により、次のように求められる：

$$\begin{aligned} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -7 & 5 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 5 & -7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & -7 \\ 2 & -3 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

2)

サラスの方法より、

$$\begin{aligned} |A| &= (20+12+6)-(5+18+16) \\ &= -1 \\ |A^{-1}| &= (-6-20-14)-(-21-8-10) \\ &= -1 \end{aligned}$$

なので、 $|A^{-1}| = 1 / |A|$ が成り立っていることがわかる。

第4問

$\vec{x}=(x,y)$ から $\vec{x'}=(x',y')$ への変換は次のように表される：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \end{aligned}$$

点 A, B, C がそれぞれ 点 A', B', C' に変換されることから、

$$\begin{aligned} a = 1, b = 0, e = 0, c = \frac{1}{\sqrt{3}}, d = \frac{2}{\sqrt{3}}, f = \frac{1}{\sqrt{3}} - 1 \end{aligned}$$

がわかる。 つまり、

$$\begin{aligned} x' &= x \\ y' &= \frac{x+2y+1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

である。

第5問

1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a-\lambda & 1-a \\ 1-a & a-\lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda - 1)(\lambda - 2a + 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 2a-1 \end{aligned}$$

を得る。 $a \ne 1$ なので、これらは相異なる固有値である。

固有値 $1$ に属する固有ベクトルを求めるために

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a-1 & 1-a \\ 1-a & a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $x=y$ であり、 固有値 $2a-1$ に属する固有ベクトルを求めるために

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1-a & 1-a \\ 1-a & 1-a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $x+y=0$ であるから、それぞれに属する固有ベクトルは例えば

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

2)

1) で求めた固有ベクトルを使って、

$$\begin{aligned} P &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} P^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ PAP &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が成り立つので、

$$\begin{aligned} A^n &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2a-1 \end{pmatrix}^n P \\ &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (2a-1)^n \end{pmatrix} P \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+(2a-1)^n & 1-(2a-1)^n \\ 1-(2a-1)^n & 1+(2a-1)^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。

3)

$0 \lt a \lt 1$ より $-1 \lt 2a-1 \lt 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (2a-1)^n = 0$ であり、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} A^n &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。