東京大学新領域創成科学研究科海洋技術環境学専攻 2018年8月実施第6問

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$\triangle ABC$ について、次の等式が成り立つことを証明しなさい。ただし、 $a, b, c$ はそれぞれ辺 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ の長さで、 $\theta$ は $\angle CAB$ の角度である。

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta

在三角形 $\triangle ABC$ 中，令

a=|BC|,\qquad b=|CA|,\qquad c=|AB|,

并令 $\theta=\angle CAB$ 。证明余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta.

$C$ から直線 $AB$ に下した垂線の足を $H$ とする。線分 $BH$ , $CH$ の長さはそれぞれ

\begin{aligned} \left| c - b \cos \theta \right| , \ \ b \sin \theta \end{aligned}

であるから、三角形 $BCH$ に関する三平方の定理より、

\begin{aligned} a^2 &= \left( c - b \cos \theta \right)^2 + b^2 \sin^2 \theta \\ &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta \end{aligned}

がわかる。