東京大学 新領域創成科学研究科 海洋技術環境学専攻 2018年8月実施 第6問

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Author

Miyake

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第6問

$\triangle ABC$ について、次の等式が成り立つことを証明しなさい。ただし、$a, b, c$ はそれぞれ辺 $BC$、$CA$、$AB$ の長さで、$\theta$ は $\angle CAB$ の角度である。

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta$$

Kai

第6問

$C$ から直線 $AB$ に下した垂線の足を $H$ とする。 線分 $BH$, $CH$ の長さはそれぞれ

$$\begin{aligned} \left| c - b \cos \theta \right| , \ \ b \sin \theta \end{aligned}$$

であるから、三角形 $BCH$ に関する三平方の定理より、

$$\begin{aligned} a^2 &= \left( c - b \cos \theta \right)^2 + b^2 \sin^2 \theta \\ &= b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta \end{aligned}$$

がわかる。