東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 確率統計

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• Tokyo-University
• Bayes-Theorem
• Conditional-Probability

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

ある製品が箱に収められているとする. 1つの箱には24個の製品が入っており、そのうち不良品が0個, 1個, 2個含まれている確率はそれぞれ80%, 15%, 5%であるとする. いま、任意に1つの箱を選び、その中から4個の製品を取り出したところ、不良品は見つからなかった. ベイズの定理 (Bayes' theorem) を用いて、この箱の中に不良品が存在しない確率を求め、有効数字2桁の小数で表せ.

(参考) ベイズの定理 (Bayes' theorem): 事象 $H_i$ が

$$H_i \cap H_j = \emptyset (i \neq j), \bigcup_i H_i = \Omega (\Omega : 全事象)$$

を満たすとき、任意の事象 $A$ に対して、事前確率 $P(H_i)$ と事後確率 $P(H_i | A)$ の間に

$$P(H_i|A) = \frac{P(H_i)P(A|H_i)}{\sum_k P(H_k)P(A|H_k)}$$

が成り立つ。

题目描述

每个箱子装有 $24$ 件产品。一个箱子中含有 $0$、$1$、$2$ 件次品的概率分别为 $80\%$、$15\%$、$5\%$。现随机选取一个箱子，从中抽出 $4$ 件产品，结果没有发现次品。使用贝叶斯定理，求该箱子原本不含次品的概率，并以两位有效数字的小数表示。

参考：若一组事件 $H_i$ 两两互斥且穷尽样本空间，即

$$H_i\cap H_j=\emptyset\quad(i\ne j), \qquad \bigcup_i H_i=\Omega,$$

其中 $\Omega$ 表示全事件，则对任意事件 $A$，先验概率与后验概率满足

$$P(H_i\mid A) =\frac{P(H_i)P(A\mid H_i)} {\sum_kP(H_k)P(A\mid H_k)}.$$

Kai

Let $H_0$ be the event that the box contains 0 defective products. Let $H_1$ be the event that the box contains 1 defective product. Let $H_2$ be the event that the box contains 2 defective products. Let $A$ be the event that 4 products are taken out and none are defective.

We are given that $P(H_0) = 0.80$ , $P(H_1) = 0.15$ , and $P(H_2) = 0.05$ .

We need to find $P(H_0 | A)$ . Using Bayes' theorem, we have

$$P(H_0|A) = \frac{P(H_0)P(A|H_0)}{P(H_0)P(A|H_0) + P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)}$$

We need to compute $P(A|H_0)$ , $P(A|H_1)$ , and $P(A|H_2)$ .

If the box contains 0 defective products, then $P(A|H_0) = 1$ . If the box contains 1 defective product, then $P(A|H_1) = \frac{\binom{23}{4}}{\binom{24}{4}} = \frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ . If the box contains 2 defective products, then $P(A|H_2) = \frac{\binom{22}{4}}{\binom{24}{4}} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21} = \frac{20 \cdot 19}{24 \cdot 23} = \frac{5 \cdot 19}{6 \cdot 23} = \frac{95}{138}$ .

Now, we plug these values into Bayes' theorem:

$$P(H_0|A) = \frac{0.80 \cdot 1}{0.80 \cdot 1 + 0.15 \cdot \frac{5}{6} + 0.05 \cdot \frac{95}{138}} = \frac{0.8}{0.8 + 0.15 \cdot \frac{5}{6} + 0.05 \cdot \frac{95}{138}} = \frac{0.8}{0.8 + 0.125 + 0.03442} = \frac{0.8}{0.95942} \approx 0.8338$$

Rounding to two significant figures, we get 0.83. Therefore, the probability that the box contains no defective products given that 4 products were drawn and none were defective is approximately 0.83.