東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 確率統計

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xy$ 平面において、原点を中心とした半径1の円、およびその内部を領域 $G = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ として定義する。領域 $G$ における任意の1点の座標 $(X, Y)$ を一様分布に従う確率変数とする。以下の問いに答えよ。

1. $X$ と $Y$ の同時確率密度関数 $f(x, y)$ を求めよ。

2. $X$ と $Y$ の周辺確率密度関数 $f_X(x)$ と $f_Y(y)$ をそれぞれ求め、 $X$ と $Y$ は独立ではないことを示せ。

3. $X$ と $Y$ の共分散 $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ を求め、 $X$ と $Y$ は無相関であることを示せ。ただし、確率変数 $X$ の期待値を $E(X)$ とする。

4. $Y = y$ のもと、 $X$ の条件付き確率密度関数 $f_{X|Y}(x | y)$ を求めよ。

题目描述

在 $xy$ 平面上定义以原点为圆心、半径为 $1$ 的闭圆盘

$$G=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1\}.$$

从区域 $G$ 中均匀选取一点，并将其坐标记为随机变量 $(X,Y)$。回答：

1. 求 $X$ 与 $Y$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$。

2. 分别求边缘概率密度函数 $f_X(x)$、$f_Y(y)$，并证明 $X$ 与 $Y$ 不独立。

3. 以 $E(X)$ 表示随机变量 $X$ 的期望。求

   $$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),$$

   并证明 $X$ 与 $Y$ 不相关。

4. 在给定 $Y=y$ 的条件下，求 $X$ 的条件概率密度函数 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$。

Kai

1. 領域Gの面積は $\pi(1)^2 = \pi$ である.一様分布であるから,同時確率密度関数は

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} & (x,y) \in G \\ 0 & (x,y) \notin G \end{cases}$$

2. $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} dy = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, -1 \leq x \leq 1$

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{1}{\pi} dx = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, -1 \leq y \leq 1$$

両周辺密度は、上記の区間外では $0$ である。

もし $X$ と $Y$ が独立であるなら, $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ が成り立つはずである. しかし,

$$f_X(x)f_Y(y) = \frac{4(1-x^2)^{1/2}(1-y^2)^{1/2}}{\pi^2}$$

$(x,y)=(0,0)$ では $f_X(0)f_Y(0)=4/\pi^2\ne1/\pi=f(0,0)$ である。両辺は原点の近傍で連続なので、この不等式は正の面積をもつ近傍で成立する。したがって $X$ と $Y$ は独立ではない。

3. $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x) dx = \int_{-1}^{1} x \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi} dx = 0$ (奇関数なので) $E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y) dy = \int_{-1}^{1} y \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi} dy = 0$ (奇関数なので)

$E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dxdy = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} xy \frac{1}{\pi} dydx = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} x \frac{(1-x^2)-(1-x^2)}{2} dx = 0$ $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 \times 0 = 0$ したがって、 $X$ と $Y$ は無相関である。

4. $|y|<1$ のとき、 $f_Y(y)>0$ であり、

$$f_{X|Y}(x|y) =\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}}$$

となる。

$$f_{X|Y}(x|y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{1-y^2}} & \left(-\sqrt{1-y^2}\leq x\leq\sqrt{1-y^2},\ |y|<1\right),\\ 0 & \text{otherwise in }x. \end{cases}$$

$y=\pm1$ では $f_Y(y)=0$ なので、通常の密度比による条件付き密度は定義されない。