東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 確率統計

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• Tokyo-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$X$ と $Y$ を区間 $[0,1]$ において一様分布に従う確率変数とする。また、確率変数の和を $S = X + Y$ とし、積を $Z = XY$ とする。以下の確率を求めよ。

1. $P\left(\frac{1}{3} \leq X \leq \frac{3}{4}\right)$

2. $P\left(S \leq \frac{1}{2}\right)$

3. $P(S \leq 1, Z \geq 0.09)$

ただし、 $\log_e 3 = 1.1$ とする。

题目描述

设 $X,Y$ 的边缘分布均为区间 $[0,1]$ 上的均匀分布。第2、3问涉及联合分布；若另外假设二者相互独立，则 $(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1]^2$ 上均匀分布。

在这一补充条件下，定义

$$S=X+Y,\qquad Z=XY.$$

求下列概率：

1. 计算：

   $$P\left(\frac13\leq X\leq\frac34\right).$$

2. 计算：

   $$P\left(S\leq\frac12\right).$$

3. 计算：

   $$P(S\leq1,\ Z\geq0.09).$$

计算时取自然对数 $\log_e3=1.1$。

Kai

第1問は周辺分布だけで定まる。第2、3問は同時分布に依存するため、以下では $X,Y$ が独立であると仮定する。独立性を仮定しない場合、これら二つの数値は一意には定まらない。

1. $X$ の密度は $0\le x\le1$ で1なので、

$$P\left(\frac{1}{3} \leq X \leq \frac{3}{4}\right) = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} f_X(x) dx = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} 1 dx = [x]_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}$$

2. 単位正方形内の $x+y\leq1/2$ を満たす三角形の面積を求める。

$$P\left(S \leq \frac{1}{2}\right) = \int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{1}{2} - x} dy dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left[y\right]_0^{\frac{1}{2} - x} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2} - x\right) dx = \left[\frac{1}{2}x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$

3. $R=\{(x,y)\in[0,1]^2:x+y\le1,xy\ge0.09\}$ とおく。$R$ では $0.09/X\le Y\le1-X$ である。 したがって、領域が空でない条件は

$$\frac{0.09}{X}\leq1-X \iff X^2-X+0.09\leq0 \iff (X-0.1)(X-0.9)\leq0,$$

すなわち $0.1\leq X\leq0.9$ である。よって、

$$\begin{aligned} P(X+Y\leq1,XY\geq0.09) &=\int_{0.1}^{0.9}\left(1-X-\frac{0.09}{X}\right)dX\\ &=0.4-0.09\log 9\\ &=0.4-0.18\log 3. \end{aligned}$$

問題文の $\log_e3=1.1$ を用いると、

$$\boxed{P(X+Y\leq1,XY\geq0.09)\approx0.202}.$$