東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 概率统计

标签：

• Tokyo-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$X$ と $Y$ を区間 $[0,1]$ において一様分布に従う確率変数とする。また、確率変数の和を $S = X + Y$ とし、積を $Z = XY$ とする。以下の確率を求めよ。

1. $P\left(\frac{1}{3} \leq X \leq \frac{3}{4}\right)$

2. $P\left(S \leq \frac{1}{2}\right)$

3. $P(S \leq 1, Z \geq 0.09)$

ただし、 $\log_e 3 = 1.1$ とする。

题目描述

原始 Description 只说明随机变量 $X$、$Y$ 各自在区间 $[0,1]$ 上服从均匀分布，却没有说明二者是否独立，也没有给出联合分布；因此，仅凭原题面无法唯一确定涉及 $X+Y$ 和 $XY$ 的第 2、3 问。由 Kai 可唯一确定，其计算采用的补充条件是 $X$、$Y$ 相互独立，等价地，$(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1]^2$ 上服从均匀分布。

在这一补充条件下，定义

$$S=X+Y,\qquad Z=XY.$$

求下列概率：

1. 计算：

   $$P\left(\frac13\leq X\leq\frac34\right).$$

2. 计算：

   $$P\left(S\leq\frac12\right).$$

3. 计算：

   $$P(S\leq1,\ Z\geq0.09).$$

计算时取自然对数 $\log_e3=1.1$。

Kai

原問題文だけでは $X$ と $Y$ の同時分布が定まらないため，第2問と第3問の確率は一意に決まらない。以下では，出題意図に合わせて $X$ と $Y$ は独立である（すなわち $(X,Y)$ は $[0,1]^2$ 上の一様分布に従う）と仮定する。

1. যেহেতু X একটি uniform distribution মেনে চলে [0,1] interval এ, তাহলে X এর probability density function হলো $f_X(x) = 1$ যখন $0 \leq x \leq 1$ , এবং 0 অন্যথায়। সুতরাং,

$$P\left(\frac{1}{3} \leq X \leq \frac{3}{4}\right) = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} f_X(x) dx = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} 1 dx = [x]_{\frac{1}{3}}^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}$$

2. যেহেতু $S = X + Y$ এবং $0 \leq X \leq 1$ , $0 \leq Y \leq 1$ , তাহলে $P(S \leq \frac{1}{2})$ নির্ণয় করার জন্য আমাদের $X + Y \leq \frac{1}{2}$ এর integral বের করতে হবে যখন $0 \leq X \leq 1$ এবং $0 \leq Y \leq 1$ . অর্থাৎ, $Y \leq \frac{1}{2} - X$ . সুতরাং,

$$P\left(S \leq \frac{1}{2}\right) = \int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{1}{2} - x} dy dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left[y\right]_0^{\frac{1}{2} - x} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2} - x\right) dx = \left[\frac{1}{2}x - \frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$

3. $P(S \leq 1, Z \geq 0.09)$ অর্থাৎ, $X + Y \leq 1$ এবং $XY \geq 0.09$ . আমরা area বের করব যেখানে এই শর্তগুলো পূরণ হয়। শর্তগুলো হলো $0 \leq X \leq 1$ , $0 \leq Y \leq 1$ , $X + Y \leq 1$ এবং $XY \geq 0.09$ . সুতরাং, $Y \geq \frac{0.09}{X}$ .

$$P(S \leq 1, Z \geq 0.09) = \iint_{R} dx dy$$

যেখানে $R$ হলো শর্তগুলো পূরণকারী region. $X+Y \le 1 \implies Y \le 1-X$ এবং $XY \ge 0.09 \implies Y \ge \frac{0.09}{X}$ . したがって、領域が空でない条件は

$$\frac{0.09}{X}\leq1-X \iff X^2-X+0.09\leq0 \iff (X-0.1)(X-0.9)\leq0,$$

すなわち $0.1\leq X\leq0.9$ である。よって、

$$\begin{aligned} P(X+Y\leq1,XY\geq0.09) &=\int_{0.1}^{0.9}\left(1-X-\frac{0.09}{X}\right)dX\\ &=0.4-0.09\log 9\\ &=0.4-0.18\log 3. \end{aligned}$$

問題文の $\log_e3=1.1$ を用いると、

$$\boxed{P(X+Y\leq1,XY\geq0.09)\approx0.202}.$$