東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の微分方程式について、 $x=1$ まわりのべき級数解を $(x-1)^3$ の項まで求めよ。 ただし、 $y(1) = 1$ とする。

$$\frac{dy}{dx} + 3y = 3x - 1$$

题目描述

考虑初值问题

$$\frac{dy}{dx}+3y=3x-1, \qquad y(1)=1.$$

求该微分方程在 $x=1$ 附近的幂级数解，保留到 $(x-1)^3$ 项为止。

Kai

Let $t = x-1$ , then $x = t+1$ . Thus, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt}$ .\ The equation becomes: $\frac{dy}{dt} + 3y = 3(t+1) - 1 = 3t+2$ .

Let $y = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + \dots$ , then $y' = a_1 + 2a_2 t + 3a_3 t^2 + \dots$

Substituting into the equation, we have: $a_1 + 2a_2 t + 3a_3 t^2 + \dots + 3(a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + \dots) = 3t+2$

$(a_1+3a_0) + (2a_2+3a_1)t + (3a_3+3a_2)t^2 + \dots = 2 + 3t$

Equating coefficients, we have: $a_1+3a_0 = 2$ $2a_2+3a_1 = 3$ $3a_3+3a_2 = 0$ Since $y(1) = 1$ , $y(t=0) = 1$ , so $a_0 = 1$ . Then, $a_1 = 2 - 3a_0 = 2-3 = -1$ $2a_2 = 3 - 3a_1 = 3 - 3(-1) = 6$ , so $a_2 = 3$ $3a_3 = -3a_2 = -9$ , so $a_3 = -3$ Thus, $y = 1 - t + 3t^2 - 3t^3 + \dots = 1 - (x-1) + 3(x-1)^2 - 3(x-1)^3 + \dots$

Therefore, the power series solution up to the $(x-1)^3$ term is: $y(x) = 1 - (x-1) + 3(x-1)^2 - 3(x-1)^3$