東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 微分積分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xy$ 平面内にある曲線 $C$ 上の任意の点 $P(x, y)$ における法線は点 $Q(2x,0)$ を通る。 このときの曲線 $C$ を求めよ。

题目描述

在 $xy$ 平面内，曲线 $C$ 上任意一点 $P(x,y)$ 处的法线都经过点

$$Q(2x,0),$$

其中点 $Q$ 随 $P$ 的横坐标 $x$ 而定。求满足这一条件的曲线 $C$。

Kai

点 $P(x,y)$ における法線の傾きは $-\frac{dx}{dy}$ である 法線の方程式は $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ である。 この法線が点 $Q(2x,0)$ を通るので、 $0 - y = -\frac{dx}{dy}(2x - x)$ $-y = -x \frac{dx}{dy}$ したがって

$$y\frac{dy}{dx}=x$$

である．両辺を積分すると

$$\frac12y^2=\frac12x^2+C_1$$

となるから，求める曲線族は

$$\boxed{y^2-x^2=C}$$

である．実際，$\nabla(y^2-x^2)=(-2x,2y)$ と $Q-P=(x,-y)$ は平行なので，$Q$ は $P$ における法線上にある．$C=0$ では各直線 $y=\pm x$ を考えればよい． $C=0$ の場合は，それぞれの直線 $y=x$ または $y=-x$ を曲線としてとる．