東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xy$ 平面内にある曲線 $C$ 上の任意の点 $P(x, y)$ における法線は点 $Q(2x,0)$ を通る。 このときの曲線 $C$ を求めよ。

题目描述

在 $xy$ 平面内，曲线 $C$ 上任意一点 $P(x,y)$ 处的法线都经过点

$$Q(2x,0),$$

其中点 $Q$ 随 $P$ 的横坐标 $x$ 而定。求满足这一条件的曲线 $C$。

Kai

点 $P(x,y)$ における法線の傾きは $-\frac{dx}{dy}$ である 法線の方程式は $Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$ である。 この法線が点 $Q(2x,0)$ を通るので、 $0 - y = -\frac{dx}{dy}(2x - x)$ $-y = -x \frac{dx}{dy}$ したがって

$$y\frac{dy}{dx}=x$$

である．両辺を積分すると

$$\frac12y^2=\frac12x^2+C_1$$

となるから，求める曲線族は

$$\boxed{y^2-x^2=C}$$

である．実際，この曲線上では $dy/dx=x/y$ なので法線の傾きは $-y/x$ であり， $P(x,y)$ と $Q(2x,0)$ を結ぶ直線の傾きに一致する． $C=0$ の場合は，それぞれの直線 $y=x$ または $y=-x$ を曲線としてとる．