東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2024年8月実施 線形代数

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• Matrix-Diagonalization
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ について以下の全ての設問に解答せよ.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & -3 \end{bmatrix}$$

(1) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを全て求めよ.

(2) 行列 $A$ に対し $P^{-1}AP$ が対角行列となる正則行列 $P$ , およびその逆行列 $P^{-1}$ を求めよ.

(3) $\sum_{k=0}^{7} (-A)^k = I - A + A^2 - A^3 + A^4 - A^5 + A^6 - A^7$ を求めよ. ただし, 行列 $I$ は3次単位行列である.

(4) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} (-\frac{1}{3}A)^k$ を求めよ.

题目描述

给定矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 2&0&2\\ -1&1&-2\\ -2&0&-3 \end{bmatrix}.$$

回答以下全部问题：

1. 求矩阵 $A$ 的所有特征值和特征向量。

2. 求一个可逆矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

3. 计算

   $$\sum_{k=0}^{7}(-A)^k =I-A+A^2-A^3+A^4-A^5+A^6-A^7,$$

   其中 $I$ 为三阶单位矩阵。

4. 计算无穷级数

   $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \left(-\frac13A\right)^k.$$

Kai

(1) Eigenvalues and Eigenvectors

To find the eigenvalues, we need to solve the characteristic equation $\det(A-\lambda I)=0$.

$$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 & 2 \\ -1 & 1 - \lambda & -2 \\ -2 & 0 & -3 - \lambda \end{bmatrix}$$

$$det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)((2 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-2)(2)) = (1 - \lambda)(-6 - 2\lambda + 3\lambda + \lambda^2 + 4) = (1 - \lambda)(\lambda^2 + \lambda - 2) = (1 - \lambda)(\lambda + 2)(\lambda - 1) = -(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$$

Thus, the eigenvalues are $\lambda_1=1$ (multiplicity 2) and $\lambda_2=-2$.

For $\lambda_1=1$:

$$(A - I)v = 0 \implies \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$x + 2z = 0 \implies x = -2z$$

$$v = \begin{bmatrix} -2z \\ y \\ z \end{bmatrix} = z\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Thus, the eigenvectors for $\lambda_1=1$ are $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ and $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ .

For $\lambda_2=-2$:

$$(A + 2I)v = 0 \implies \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$4x + 2z = 0 \implies z = -2x$$

$$-x + 3y + 4x = 0 \implies 3y = -3x \implies y = -x$$

$$v = \begin{bmatrix} x \\ -x \\ -2x \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$$

Thus, the eigenvector for $\lambda_2=-2$ is $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$ .

(2) Diagonalization Since we have three linearly independent eigenvectors, we can diagonalize A. Let $P = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ .

Then

$$P^{-1}= \begin{bmatrix} -2/3&0&-1/3\\ -1/3&1&-2/3\\ -1/3&0&-2/3 \end{bmatrix}.$$

$D = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ .

(3) $\sum_{k=0}^{7} (-A)^k$

$f(t)=\sum_{k=0}^{7}(-t)^k$ とおくと， $f(1)=0,\ f(-2)=255$ である。 固有値 $-2$ に対する射影行列は

$$\frac{I-A}{3}$$

なので，

$$\sum_{k=0}^{7}(-A)^k =255\frac{I-A}{3} =\boxed{ \begin{pmatrix} -85&0&-170\\ 85&0&170\\ 170&0&340 \end{pmatrix} }.$$

(4) $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} (-\frac{1}{3}A)^k$

$A$ の固有値は $1,1,-2$ なので， $-A/3$ のスペクトル半径は $2/3<1$ であり， 級数は収束する。 $g(t)=\sum_{k=1}^{\infty}(-t/3)^k/k$ とおけば

$$g(1)=\log\frac34,\qquad g(-2)=\log3.$$

したがって， $u=\log(3/4),\ v=\log3$ とおくと

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\left(-\frac13A\right)^k =u\frac{A+2I}{3}+v\frac{I-A}{3}$$

$$=\boxed{ \frac13 \begin{pmatrix} 4u-v&0&2u-2v\\ -u+v&3u&-2u+2v\\ -2u+2v&0&-u+4v \end{pmatrix} }.$$