東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2023年8月実施 概率统计

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• Expectation-and-Variance
• Normal-Distribution

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

確率変数の変数変換に関する以下の問いに答えよ。

1. $X$ を標準正規分布に従う確率変数とする。ここで、 $Y = -3X + 2$ で得られる確率変数 $Y$ を導入し、 $Y$ が従う確率密度関数を $f_Y(y)$ とする。このとき、 $f_Y(y)$ を求めよ。また、 $Y$ の期待値と分散を求めよ。ただし、確率変数 $X$ の従う確率密度関数を $f_X(x)$ とすると、

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$

である。

2. $Y_1, Y_2$ を独立な標準正規分布に従う確率変数とする。 $U = 2Y_1 + Y_2, V = Y_1 - 2Y_2$ を導入し、2次元確率変数 $(U, V)$ の従う2次元同時確率密度関数を $g(u, v)$ とする。このとき、 $g(u, v)$ を求めよ。また、確率変数 $V$ の期待値と分散を求めよ。

题目描述

回答以下关于随机变量变换的问题：

1. 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布，其概率密度为

   $$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.$$

   定义 $Y=-3X+2$，并以 $f_Y(y)$ 表示 $Y$ 的概率密度。求 $f_Y(y)$，以及 $Y$ 的期望和方差。

2. 设 $Y_1,Y_2$ 是相互独立且均服从标准正态分布的随机变量，定义

   $$U=2Y_1+Y_2,\qquad V=Y_1-2Y_2.$$

   以 $g(u,v)$ 表示二维随机变量 $(U,V)$ 的联合概率密度。求 $g(u,v)$，以及随机变量 $V$ 的期望和方差。

Kai

1. Solution: Since $Y = -3X + 2$ , we have $X = \frac{2 - Y}{3}$ . The Jacobian of this transformation is given by $\frac{dX}{dY} = -\frac{1}{3}$ . Thus, the probability density function of $Y$ is given by

$$f_Y(y) = f_X(x) \left| \frac{dX}{dY} \right| = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\frac{2-y}{3})^2}{2}} \left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(2-y)^2}{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-2)^2}{18}}$$

Therefore, $Y \sim N(2, 9)$ . The expected value of $Y$ is $E[Y] = 2$ and the variance of $Y$ is $Var(Y) = 9$ .

2. Solution: Since $U = 2Y_1 + Y_2$ and $V = Y_1 - 2Y_2$ , we can express $Y_1$ and $Y_2$ in terms of $U$ and $V$ as follows: $2V = 2Y_1 - 4Y_2$ , so $U - 2V = 5Y_2$ and $Y_2 = \frac{U - 2V}{5}$ . $V = Y_1 - 2Y_2$ , so $Y_1 = V + 2Y_2 = V + 2(\frac{U - 2V}{5}) = \frac{5V + 2U - 4V}{5} = \frac{2U + V}{5}$ .

The Jacobian of this transformation is

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial Y_1}{\partial U} & \frac{\partial Y_1}{\partial V} \\ \frac{\partial Y_2}{\partial U} & \frac{\partial Y_2}{\partial V} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{vmatrix} = -\frac{4}{25} - \frac{1}{25} = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$$

The joint density of $Y_1$ and $Y_2$ is given by $f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = f_{Y_1}(y_1) f_{Y_2}(y_2)$ since $Y_1$ and $Y_2$ are independent. Since $Y_1$ and $Y_2$ are standard normal, $f_{Y_1}(y_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y_1^2}{2}}$ and $f_{Y_2}(y_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y_2^2}{2}}$ . Thus, $f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{y_1^2 + y_2^2}{2}}$ .

$$g(u, v) = f_{Y_1, Y_2}(y_1(u, v), y_2(u, v)) |J| = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{(\frac{2u+v}{5})^2 + (\frac{u-2v}{5})^2}{2}} \left| -\frac{1}{5} \right| = \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{4u^2 + 4uv + v^2 + u^2 - 4uv + 4v^2}{50}} = \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{5u^2 + 5v^2}{50}} = \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{u^2 + v^2}{10}}$$

To find the expected value and variance of $V$ , we need to find the marginal distribution of $V$ .

$$f_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u, v) du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{u^2 + v^2}{10}} du = \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{v^2}{10}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^2}{10}} du = \frac{1}{10\pi} e^{-\frac{v^2}{10}} \sqrt{10\pi} = \frac{1}{\sqrt{10\pi}} e^{-\frac{v^2}{10}}$$

Thus, $V \sim N(0, 5)$ , so $E[V] = 0$ and $Var(V) = 5$ .