東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2023年8月実施 微分方程式

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

変数 $t$ について区間 $[0,+\infty)$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ を以下のように定義する．

$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)](s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt$$

以下の問いに答えよ．

1. $f(t) = \sin at$ および $f(t) = \cos at$ のラプラス変換を求めよ．ただし， $a$ は $a>0$ の定数とする．計算過程も示すこと．

2. 以下の連立微分方程式の解 $x(t)$ , $y(t)$ を求めよ．ただし，初期値は $x(0)=1$ , $y(0)=1$ とする．

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 4y + \cos t \\ \frac{dy}{dt} = -x + \sin t \end{cases}$$

题目描述

对定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $f(t)$，定义其拉普拉斯变换为

$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)](s) =\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt.$$

回答以下问题：

1. 设 $a>0$ 为常数，分别求 $f(t)=\sin at$ 和 $f(t)=\cos at$ 的拉普拉斯变换，并写出计算过程。

2. 求初值问题

   $$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=4y+\cos t,\\ \dfrac{dy}{dt}=-x+\sin t, \end{cases} \qquad x(0)=1,\quad y(0)=1$$

   的解 $x(t)$、$y(t)$。

Kai

1. ラプラス変換の定義より、

$\mathcal{L}[\sin at] = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin at dt$

部分積分を行う．

$I = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin at dt$

$= [\frac{-1}{s}e^{-st}\sin at]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac{1}{s}e^{-st} a\cos at dt$

$= 0 + \frac{a}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} \cos at dt$

$= \frac{a}{s} ([\frac{-1}{s}e^{-st}\cos at]_0^{\infty} - \frac{a}{s}\int_0^{\infty} e^{-st}\sin at\,dt)$

$= \frac{a}{s^2} - \frac{a^2}{s^2}I$

したがって

$(1 + \frac{a^2}{s^2})I = \frac{a}{s^2}$

$I = \frac{a}{s^2 + a^2}$ (for $s>0$ )

$\mathcal{L}[\sin at] = \frac{a}{s^2 + a^2}$

次に、

$\mathcal{L}[\cos at] = \int_0^{\infty} e^{-st} \cos at dt$

$= [\frac{-1}{s}e^{-st}\cos at]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} \frac{-1}{s} e^{-st} (-a\sin at) dt$

$= \frac{1}{s} - \frac{a}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} \sin at dt$

$= \frac{1}{s} - \frac{a}{s} \frac{a}{s^2 + a^2}$

$= \frac{1}{s} - \frac{a^2}{s(s^2 + a^2)}$

$= \frac{s^2 + a^2 - a^2}{s(s^2 + a^2)}$

$= \frac{s^2}{s(s^2 + a^2)}$

$\mathcal{L}[\cos at] = \frac{s}{s^2 + a^2}$

2. ラプラス変換を行う．

$\mathcal{L}[x'(t)] = sX(s) - x(0) = sX(s) - 1$

$\mathcal{L}[y'(t)] = sY(s) - y(0) = sY(s) - 1$

$\mathcal{L}[\cos t] = \frac{s}{s^2 + 1}$

$\mathcal{L}[\sin t] = \frac{1}{s^2 + 1}$

よって、

$sX(s) - 1 = 4Y(s) + \frac{s}{s^2 + 1}$

$sY(s) - 1 = -X(s) + \frac{1}{s^2 + 1}$

この二元一次方程式を解くと

$$\begin{aligned} X(s) &=\frac{s+4}{s^2+4}+\frac{1}{s^2+1},\\ Y(s) &=\frac{s}{s^2+4}-\frac{1}{s^2+4}. \end{aligned}$$

したがって逆ラプラス変換より

$$\boxed{x(t)=\cos 2t+2\sin 2t+\sin t},$$

$$\boxed{y(t)=\cos 2t-\frac12\sin 2t}.$$

これらは $x(0)=y(0)=1$ を満たし、直接微分すると

$$x'=4y+\cos t,\qquad y'=-x+\sin t$$

が確認できる。