東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2023年8月実施 微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

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次の微分方程式について以下の問いに答えよ。

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = f(x)$$

1. $f(x)=0$ のとき、一般解を求めよ。

2. $f(x) = xe^{3x}$ のとき、一般解を求めよ。

题目描述

考虑二阶常系数线性微分方程

$$\frac{d^2y}{dx^2}-6\frac{dy}{dx}+9y=f(x).$$

分别回答：

1. 当 $f(x)=0$ 时，求方程的通解。
2. 当 $f(x)=xe^{3x}$ 时，求方程的通解。

Kai

1. $f(x)=0$ のとき、

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = 0$$

特性方程式は

$$r^2 - 6r + 9 = 0$$

$$(r-3)^2 = 0$$

$$r = 3$$

重根なので、一般解は

$$y = (C_1 + C_2x)e^{3x}$$

2. $f(x) = xe^{3x}$ のとき、

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 6\frac{dy}{dx} + 9y = xe^{3x}$$

$y=e^{3x}v(x)$ とおくと、

$$y''-6y'+9y=e^{3x}v''.$$

したがって $v''=x$ であり、

$$v=\frac{x^3}{6}+C_2x+C_1.$$

よって一般解は

$$\boxed{y=e^{3x}\left(C_1+C_2x+\frac{x^3}{6}\right)}.$$