東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2023年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ について以下の全ての設問に解答せよ。

$$A = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{3}n\pi & \frac{2}{3}n\pi \\ \frac{1}{3}n\pi & 0 & -\frac{2}{3}n\pi \\ -\frac{2}{3}n\pi & \frac{2}{3}n\pi & 0 \end{bmatrix}$$

ただし、 $n$ は $0$ でない実数とする。

(1) 行列式 $\det A$ を求めよ。

(2) $A^2$ , $A^3$ を求めよ。

(3) $A^m$ を求めよ。ただし、 $m$ は正の整数とする。

(4) $n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\exp A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k = I + \frac{1}{1!}A + \frac{1}{2!}A^2 + \dots + \frac{1}{k!}A^k + \dots$ を求めよ。 ただし、行列 $I$ は $3$ 次単位行列である。

题目描述

设 $n$ 为非零实数，给定矩阵

$$A= \begin{bmatrix} 0&-\frac{1}{3}n\pi&\frac{2}{3}n\pi\\ \frac{1}{3}n\pi&0&-\frac{2}{3}n\pi\\ -\frac{2}{3}n\pi&\frac{2}{3}n\pi&0 \end{bmatrix}.$$

回答以下全部问题：

1. 求行列式 $\det A$。

2. 求 $A^2$ 和 $A^3$。

3. 设 $m$ 为正整数，求 $A^m$。

4. 当 $n=\frac12$ 时，求矩阵指数

   $$\exp A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k =I+\frac{1}{1!}A+\frac{1}{2!}A^2+\cdots,$$

   其中 $I$ 为三阶单位矩阵。

Kai

(1) $\det A = 0$ (Aは歪対称行列で、次数が奇数なので)

(2) $A=\dfrac{n\pi}{3}K$ ，ただし

$$K= \begin{pmatrix} 0&-1&2\\ 1&0&-2\\ -2&2&0 \end{pmatrix}$$

とおく。直接計算すると

$$A^2=\frac{n^2\pi^2}{9} \begin{pmatrix} -5&4&2\\ 4&-5&2\\ 2&2&-8 \end{pmatrix}, \qquad \boxed{A^3=-n^2\pi^2A}.$$

(3) (2) の関係を繰り返し用いれば， $k\geq0$ および $k\geq1$ に対して

$$\boxed{ A^{2k+1}=(-n^2\pi^2)^kA,\qquad A^{2k}=(-n^2\pi^2)^{k-1}A^2 }$$

を得る。

(4) $n=\dfrac12$ のとき $A^3=-\dfrac{\pi^2}{4}A$ である。 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ とおけば，べき級数を奇数次と偶数次に分けることにより

$$\exp A =I+\frac{\sin\theta}{\theta}A +\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}A^2 =I+\frac{2}{\pi}A+\frac{4}{\pi^2}A^2.$$

したがって

$$\boxed{ \exp A= \begin{pmatrix} \frac49&\frac19&\frac89\\ \frac79&\frac49&-\frac49\\ -\frac49&\frac89&\frac19 \end{pmatrix} }.$$