東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2022年8月実施 微分方程式

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 以下の全ての設問に解答せよ。

(1) 以下の微分方程式1), 2)について、一般解をそれぞれ求めよ。

1. $\frac{dy}{dx} = 3 \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

2. $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-x}$

(2) 次の連立方程式について、一般解を求めるとともに、 $\alpha = 0, \beta > 0$ のときの解軌道の概形を描け。

$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = \alpha x + \beta y \\ \frac{dy}{dt} = -\beta x + \alpha y \end{cases}$

(3) 次の偏微分方程式の一般解を求めよ。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - 12 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x + y$

题目描述

回答以下全部问题。

1. 分别求下列两个常微分方程的一般解：

   1. 求解：

      $$\frac{dy}{dx}=3\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.$$

   2. 求解：

      $$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+3y=e^{-x}.$$

2. 求线性方程组

   $$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=\alpha x+\beta y,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=-\beta x+\alpha y \end{cases}$$

   的一般解；并在 $\alpha=0,\ \beta>0$ 时，画出解在 $xy$ 平面中的轨道大致形状及运动方向。

3. 求偏微分方程

   $$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} -\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} -12\frac{\partial^2z}{\partial y^2} =x+y$$

   的一般解。

Kai

(1) の 1) は $x\ne0,\ y\ne0$ の区間で考える。実数解では $6\log|x|+C>0$ とする。

Here is a possible solution to the problems:

(1) 1) $\frac{dy}{dx} = 3\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ . Let $v = \frac{y}{x}$ , so $y = vx$ and $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ . Then $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{3}{v} + v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{3}{v} \implies v dv = \frac{3}{x} dx$ . Integrating both sides, we get $\int v dv = \int \frac{3}{x} dx \implies \frac{v^2}{2} = 3\ln|x| + C \implies v^2 = 6\ln|x| + 2C \implies \frac{y^2}{x^2} = 6\ln|x| + 2C \implies y^2 = x^2(6\ln|x| + C')$ .

2. $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-x}$ . The characteristic equation is $r^2 - 4r + 3 = 0 \implies (r-1)(r-3) = 0 \implies r = 1, 3$ . So the homogeneous solution is $y_h = c_1 e^x + c_2 e^{3x}$ . For the particular solution, we assume $y_p = A e^{-x}$ . Then $y_p' = -A e^{-x}$ and $y_p'' = A e^{-x}$ . Substituting into the equation, we get $A e^{-x} - 4(-A e^{-x}) + 3A e^{-x} = e^{-x} \implies A + 4A + 3A = 1 \implies 8A = 1 \implies A = \frac{1}{8}$ . So $y_p = \frac{1}{8} e^{-x}$ . The general solution is $y = c_1 e^x + c_2 e^{3x} + \frac{1}{8} e^{-x}$ .

(2) $w=x+iy$ とおくと

$$w'=(\alpha-i\beta)w$$

なので、

$$\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=e^{\alpha t}\{C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\},\\ y(t)&=e^{\alpha t}\{-C_1\sin(\beta t)+C_2\cos(\beta t)\}. \end{aligned}}$$

これが任意の $\alpha,\beta$ に対する一般解である。特に $\alpha=0,\ \beta>0$ では

$$x(t)^2+y(t)^2=C_1^2+C_2^2$$

となるので、原点を中心とする円軌道である。正の $x$ 軸上では $y'=-\beta x<0$ だから、向きは時計回りである。

(3) 微分作用素は

$$\partial_x^2-\partial_x\partial_y-12\partial_y^2 =(\partial_x-4\partial_y)(\partial_x+3\partial_y)$$

と因数分解できる。したがって斉次方程式の一般解は

$$z_h=f(y+4x)+g(y-3x)$$

である。また

$$z_p=\frac{x^3}{6}-\frac{y^3}{72}$$

とおけば

$$(z_p)_{xx}-(z_p)_{xy}-12(z_p)_{yy}=x+y.$$

よって一般解は

$$\boxed{z=f(y+4x)+g(y-3x)+\frac{x^3}{6}-\frac{y^3}{72}},$$

ただし $f,g$ は任意の二回微分可能な一変数関数である。