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東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2022年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

行列 AA について以下の全ての設問に解答せよ。

A=[20−1020−112]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

(1) 行列 AA の固有値および固有ベクトルを全て求めよ。 (2) 行列 AA に対し P−1APP^{-1}AP が対角行列となる正則行列 PP 、および、 P−1APP^{-1}AP を求めよ。 (3) 行列 AnA^n を求めよ。ただし、 nn は自然数とする。

题目描述​

给定矩阵

A=[20−1020−112].A=\begin{bmatrix} 2&0&-1\\ 0&2&0\\ -1&1&2 \end{bmatrix}.

回答以下全部问题：

  1. 求矩阵 AA 的所有特征值及各自对应的特征向量。
  2. 求一个可逆矩阵 PP，使 P−1APP^{-1}AP 为对角矩阵，并明确写出 P−1APP^{-1}AP。
  3. 设 nn 为自然数，求 AnA^n 的显式表达式。

Kai​

(1) 固有値の計算 Characteristic polynomial ∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0 より、 ∣2−λ0−102−λ0−112−λ∣=(2−λ)∣2−λ−1−12−λ∣=(2−λ)((2−λ)2−1)=(2−λ)(4−4λ+λ2−1)=(2−λ)(λ2−4λ+3)=(2−λ)(λ−1)(λ−3)=0\begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & -1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (2-\lambda)(4 - 4\lambda + \lambda^2 - 1) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3) = 0 固有値は λ=1,2,3\lambda = 1, 2, 3

固有ベクトルの計算 λ=1\lambda = 1 の時、 (A−I)v=0(A - I)v = 0 を解く。 [10−1010−111][xyz]=[000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} より、 x=z,y=0x = z, y = 0 。固有ベクトルは v1=[101]v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} (またはその定数倍). λ=2\lambda = 2 の時、 (A−2I)v=0(A - 2I)v = 0 を解く。 [00−1000−110][xyz]=[000]\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} より、 z=0,x=yz = 0, x = y 。固有ベクトルは v2=[110]v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (またはその定数倍). λ=3\lambda = 3 の時、 (A−3I)v=0(A - 3I)v = 0 を解く。 [−10−10−10−11−1][xyz]=[000]\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} より、 x=−z,y=0x = -z, y = 0 。固有ベクトルは v3=[10−1]v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} (またはその定数倍).

(2) P=[11101010−1]P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} とすると、 P−1AP=[100020003]P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} (対角行列).

P−1P^{-1} を求める。 [111∣100010∣01010−1∣001]→[111∣100010∣0100−1−2∣−101]→[101∣1−10010∣01000−2∣−111]→[100∣1/2−1/21/2010∣010001∣1/2−1/2−1/2]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & | & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{bmatrix} P−1=[1/2−1/21/20101/2−1/2−1/2]P^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{bmatrix}

直接計算すると

P−1AP=[100020003].P^{-1}AP= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix}.

(3) An=(PDP−1)n=PDnP−1A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1} (where D=[100020003]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} )

Dn=[1n0002n0003n]=[10002n0003n]D^n = \begin{bmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{bmatrix}

An=PDnP−1=[11101010−1][10002n0003n][1/2−1/21/20101/2−1/2−1/2]=[12n3n02n010−3n][1/2−1/21/20101/2−1/2−1/2]=[(1+3n)/2(−1+2∗2n−3n)/2(1−3n)/202n0(1−3n)/2(3n−1)/2(1+3n)/2]A^n = PD^nP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2^n & 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 1 & 0 & -3^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+3^n)/2 & (-1 + 2*2^n - 3^n)/2 & (1-3^n)/2 \\ 0 & 2^n & 0 \\ (1-3^n)/2 & (3^n-1)/2 & (1+3^n)/2 \end{bmatrix}

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