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東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2020年8月実施 微分方程

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

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(2) 次の連立微分方程式を解くことを考える。

{−yz dx+xz dy+xy dz=0yz2 dx+yz2 dy+(x+zy) dz=0\begin{cases} -yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz = 0 \\ yz^2 \, dx + yz^2 \, dy + (x + zy) \, dz = 0 \end{cases}

...③...④

  1. 微分方程式が P(x,y,z) dx+Q(x,y,z) dy+R(x,y,z) dz=0P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z) \, dy + R(x, y, z) \, dz = 0 と表されるとき、 WW を式⑤のように定義する。式③, 式④それぞれについて WW を計算せよ。
W=P(∂Q∂z−∂R∂y)+Q(∂R∂x−∂P∂z)+R(∂P∂y−∂Q∂x)W = P \left(\frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y}\right) + Q \left(\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}\right) + R \left(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\right)

...⑤

  1. 微分方程式③と④を連立させた連立微分方程式を解け。

题目描述​

考虑由下列两个微分 Pfaff 方程组成的方程组：

−yz dx+xz dy+xy dz=0,(3)-yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=0, \tag{3}
yz2 dx+yz2 dy+(x+zy) dz=0.(4)yz^2\,dx+yz^2\,dy+(x+zy)\,dz=0. \tag{4}

  1. 对一般形式

    P(x,y,z) dx+Q(x,y,z) dy+R(x,y,z) dz=0,P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz=0,

    定义

    W=P(∂Q∂z−∂R∂y)+Q(∂R∂x−∂P∂z)+R(∂P∂y−∂Q∂x).(5)\begin{aligned} W={}&P\left(\frac{\partial Q}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial y}\right) +Q\left(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z}\right)\\ &+R\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right). \end{aligned}\tag{5}

    分别对式 (3) 与式 (4) 计算 WW。

  2. 联立求解式 (3)、式 (4) 所组成的微分方程组，给出其一般积分。

Kai​

  1. For equation ③: P=−yz,Q=xz,R=xyP = -yz, Q = xz, R = xy
∂Q∂z=x∂R∂y=x∂R∂x=y∂P∂z=−y∂P∂y=−z∂Q∂x=z\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial z} &= x \\ \frac{\partial R}{\partial y} &= x \\ \frac{\partial R}{\partial x} &= y \\ \frac{\partial P}{\partial z} &= -y \\ \frac{\partial P}{\partial y} &= -z \\ \frac{\partial Q}{\partial x} &= z \end{aligned}

Therefore,

W=−yz(x−x)+xz(y−(−y))+xy(−z−z)=0+xz(2y)+xy(−2z)=2xyz−2xyz=0\begin{aligned} W &= -yz(x-x) + xz(y-(-y)) + xy(-z-z) \\ &= 0 + xz(2y) + xy(-2z) \\ &= 2xyz - 2xyz = 0 \end{aligned}

For equation ④: P=yz2,Q=yz2,R=x+zyP = yz^2, Q = yz^2, R = x + zy

∂Q∂z=2yz∂R∂y=z∂R∂x=1∂P∂z=2yz∂P∂y=z2∂Q∂x=0\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial z} &= 2yz \\ \frac{\partial R}{\partial y} &= z \\ \frac{\partial R}{\partial x} &= 1 \\ \frac{\partial P}{\partial z} &= 2yz \\ \frac{\partial P}{\partial y} &= z^2 \\ \frac{\partial Q}{\partial x} &= 0 \end{aligned}

Therefore,

W=yz2(2yz−z)+yz2(1−2yz)+(x+zy)(z2−0)=2y2z3−yz3+yz2−2y2z3+xz2+z3y=yz2+xz2=z2(x+y)\begin{aligned} W &= yz^2(2yz - z) + yz^2(1 - 2yz) + (x+zy)(z^2 - 0) \\ &= 2y^2z^3 - yz^3 + yz^2 - 2y^2z^3 + xz^2 + z^3y \\ &= yz^2 + xz^2 = z^2(x+y) \end{aligned}
  1. xyz≠0xyz\ne0 の区間では、式③を xyzxyz で割ると
−dxx+dyy+dzz=0.-\frac{dx}{x}+\frac{dy}{y}+\frac{dz}{z}=0.

したがって第一積分は

x=C1yzx=C_1yz

である。これを微分して dx=C1(z dy+y dz)dx=C_1(z\,dy+y\,dz) とし、式④へ代入すると

z(C1z+1) dy+(C1yz+C1+1) dz=0.z(C_1z+1)\,dy+(C_1yz+C_1+1)\,dz=0.

yy を zz の関数とみなせば

dydz+C1C1z+1y=−C1+1z(C1z+1).\frac{dy}{dz}+\frac{C_1}{C_1z+1}y =-\frac{C_1+1}{z(C_1z+1)}.

積分因子は C1z+1C_1z+1 なので、

ddz{(C1z+1)y}=−C1+1z.\frac{d}{dz}\{(C_1z+1)y\}=-\frac{C_1+1}{z}.

よって連立微分方程式の一般積分は

x=C1yz,(C1z+1)y+(C1+1)log⁡∣z∣=C2\boxed{x=C_1yz,\qquad (C_1z+1)y+(C_1+1)\log|z|=C_2}

となる。ここで C1,C2C_1,C_2 は任意定数であり、この表示は各非退化領域 xyz≠0xyz\ne0 で成り立つ。係数の階数が落ちる座標平面上には別に退化した積分曲線があり得る。

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