東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2020年8月実施 微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

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(1) 次の連立微分方程式を解くことを考える。

$$\frac{dy}{dx} = Ay + f(x) \tag{1}$$

ここで、

$$y = \begin{bmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, f(x) = \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix}$$

とする。

1. $P^{-1}AP$ が対角行列となるような、行列 $P$ を求めよ。またその逆行列 $P^{-1}$ を求めよ。

2. $z = \begin{bmatrix} z_1(x) \\ z_2(x) \end{bmatrix} = P^{-1}y$ とおき、式 (1) を $z$ に関する連立微分方程式に変換する。 この $z$ に関する連立微分方程式の一般解を求めよ。

なお、非同次方程式 $\frac{dg}{dx} = p(x)g + q(x)$ の一般解 $g = g(x)$ は、 $q(x) = 0$ とおいた同次方程式の一般解 $g = g_0(x)$ を用いて式 (2) のように表されることを用いてもよい。

$$g(x) = g_0(x) \int \frac{q(x)}{g_0(x)} dx + Cg_0(x) \tag{2}$$

ここで、 $C$ は任意の定数である。

题目描述

考虑非齐次线性微分方程组

$$\frac{dy}{dx}=Ay+f(x), \tag{1}$$

其中

$$y=\begin{bmatrix}y_1(x)\\y_2(x)\end{bmatrix}, \qquad A=\begin{bmatrix}3&2\\1&4\end{bmatrix}, \qquad f(x)=\begin{bmatrix}e^x\\e^{2x}\end{bmatrix}.$$

1. 求一个可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，并求出 $P^{-1}$。

2. 令

   $$z=\begin{bmatrix}z_1(x)\\z_2(x)\end{bmatrix}=P^{-1}y.$$

   将式 (1) 化为关于 $z$ 的微分方程组，并求该方程组的一般解。

可以使用以下一阶非齐次线性方程公式：若

$$\frac{dg}{dx}=p(x)g+q(x),$$

且把 $q(x)$ 置为 $0$ 后所得齐次方程的通解记为 $g_0(x)$，则非齐次方程可写为

$$g(x)=g_0(x)\int\frac{q(x)}{g_0(x)}\,dx+Cg_0(x), \tag{2}$$

其中 $C$ 为任意常数。

Kai

1. To find matrix $P$ such that $P^{-1}AP$ is a diagonal matrix, we first need to find the eigenvalues of matrix $A$ .

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$

The characteristic equation is given by $\det(A - \lambda I) = 0$ , where $I$ is the identity matrix.

$$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (3 - \lambda)(4 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$$

So, the eigenvalues are $\lambda_1 = 2$ and $\lambda_2 = 5$ .

Now, we find the eigenvectors corresponding to each eigenvalue. For $\lambda_1 = 2$ :

$$(A - 2I)v_1 = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x + 2y = 0$$

Let $y = 1$ , then $x = -2$ . So, the eigenvector $v_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ .

For $\lambda_2 = 5$ :

$$(A - 5I)v_2 = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x - y = 0$$

Let $x = 1$ , then $y = 1$ . So, the eigenvector $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ .

The matrix $P$ is formed by using the eigenvectors as columns:

$$P = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Now, we find the inverse of $P$ .

$$\det(P) = (-2)(1) - (1)(1) = -3$$

$$P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$

2. Given $z = \begin{bmatrix} z_1(x) \\ z_2(x) \end{bmatrix} = P^{-1}y$ , we have $y = Pz$ . Substitute this into the original equation:

$$\frac{d(Pz)}{dx} = A(Pz) + f(x)$$

$$P \frac{dz}{dx} = APz + f(x)$$

Multiply by $P^{-1}$ on the left:

$$\frac{dz}{dx} = P^{-1}APz + P^{-1}f(x)$$

Since $P^{-1}AP$ is a diagonal matrix with eigenvalues on the diagonal, we have:

$$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$$

$$P^{-1}f(x) = \begin{bmatrix} -1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-e^x + e^{2x})/3 \\ (e^x + 2e^{2x})/3 \end{bmatrix}$$

So, the system of differential equations becomes:

$$\frac{dz_1}{dx} = 2z_1 + \frac{-e^x + e^{2x}}{3}$$

$$\frac{dz_2}{dx} = 5z_2 + \frac{e^x + 2e^{2x}}{3}$$

These are first-order linear differential equations. We can solve each one separately using an integrating factor or the formula given in the problem. For $z_1(x)$ : $\frac{dz_1}{dx} - 2z_1 = \frac{-e^x + e^{2x}}{3}$ Let $g_0(x) = e^{2x}$ , so $z_1(x) = e^{2x} \int \frac{\frac{-e^x + e^{2x}}{3}}{e^{2x}} dx + Ce^{2x} = e^{2x} \int \frac{-e^x + e^{2x}}{3e^{2x}} dx + Ce^{2x} = e^{2x} \int \frac{-e^{-x} + 1}{3} dx + Ce^{2x} = e^{2x}(\frac{e^{-x} + x}{3}) + Ce^{2x} = \frac{e^x + xe^{2x}}{3} + Ce^{2x}$ For $z_2(x)$ : $\frac{dz_2}{dx} - 5z_2 = \frac{e^x + 2e^{2x}}{3}$ Let $g_0(x) = e^{5x}$ , so $z_2(x) = e^{5x} \int \frac{\frac{e^x + 2e^{2x}}{3}}{e^{5x}} dx + Ce^{5x} = e^{5x} \int \frac{e^x + 2e^{2x}}{3e^{5x}} dx + Ce^{5x} = e^{5x} \int \frac{e^{-4x} + 2e^{-3x}}{3} dx + Ce^{5x} = e^{5x}(\frac{-e^{-4x}}{12} - \frac{2e^{-3x}}{9}) + Ce^{5x} = -\frac{e^x}{12} - \frac{2e^{2x}}{9} + Ce^{5x}$ Therefore,

$$z(x) = \begin{bmatrix} \frac{e^x + xe^{2x}}{3} + C_1e^{2x} \\ -\frac{e^x}{12} - \frac{2e^{2x}}{9} + C_2e^{5x} \end{bmatrix},$$

where $C_1$ and $C_2$ are independent arbitrary constants.