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東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2020年8月実施 線形代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

  1. 行列 AA および行列 BB について、以下の設問全てに解答せよ.
A=12[6−3−7−1215−3−6],B=[5−118−12−61−1]A = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 6 & -3 & -7 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & -6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 1 \\ 8 & -1 & 2 \\ -6 & 1 & -1 \end{bmatrix}

(1) lim⁡n→∞An\lim_{n \to \infty} A^n を求めよ. ただし、 nn は自然数とする. (2) BnB^n を求めよ. ただし、 nn は自然数とする.

题目描述​

给定矩阵

A=12[6−3−7−1215−3−6],B=[5−118−12−61−1].A=\frac12 \begin{bmatrix} 6&-3&-7\\ -1&2&1\\ 5&-3&-6 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 5&-1&1\\ 8&-1&2\\ -6&1&-1 \end{bmatrix}.

设 nn 为自然数，回答：

  1. 求矩阵幂序列的极限

    lim⁡n→∞An.\lim_{n\to\infty}A^n.

  2. 求 BnB^n 的显式表达式。

Kai​

以下に解答を示します。 (1) AA の特性多項式は

det⁡(λI−A)=(λ−1)(λ−12)(λ+12)\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)\left(\lambda-\frac12\right) \left(\lambda+\frac12\right)

であり，固有値 1,12,−121,\frac12,-\frac12 は相異なる。対応する固有ベクトルを 列に並べて

P=(121−110111)P= \begin{pmatrix} 1&2&1\\ -1&1&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}

とおくと，

P−1AP=diag⁡(1,12,−12),P−1=(1−1−110−1−213).P^{-1}AP=\operatorname{diag}\left(1,\frac12,-\frac12\right), \qquad P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ 1&0&-1\\ -2&1&3 \end{pmatrix}.

したがって

lim⁡n→∞An=Pdiag⁡(1,0,0)P−1=(1−1−1−1111−1−1).\lim_{n\to\infty}A^n =P\operatorname{diag}(1,0,0)P^{-1} = \boxed{ \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ -1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix} }.

(2) N=B−IN=B-I とおくと

N=(4−118−22−61−2),N2=(2−104−20−420),N3=O.N= \begin{pmatrix} 4&-1&1\\ 8&-2&2\\ -6&1&-2 \end{pmatrix}, \qquad N^2= \begin{pmatrix} 2&-1&0\\ 4&-2&0\\ -4&2&0 \end{pmatrix}, \qquad N^3=O.

したがって二項定理より

Bn=(I+N)n=I+nN+(n2)N2=(n2+3n+1−n(n+1)2n2n(n+3)1−n2−n2n−2n(n+2)n21−2n).B^n=(I+N)^n =I+nN+\binom{n}{2}N^2 =\boxed{ \begin{pmatrix} n^2+3n+1&-\dfrac{n(n+1)}2&n\\ 2n(n+3)&1-n^2-n&2n\\ -2n(n+2)&n^2&1-2n \end{pmatrix} }.
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