東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2019年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

図1に示す地面上一列に並んだ5つのホールとこれらのホール間で遷移している1個の球がある。左から各ホールに1,2,3,4,5と付番する。球がホール $i$ ( $i = 2,3,4$ ) にあるとき、1回の試行でホール $i-1, i, i+1$ に遷移する確率はそれぞれ $p, r, q$ ( $p > 0, q > 0, r \geq 0, p + q + r = 1$ )である。ただし、ホール1またはホール5に達すると、遷移確率=1でその位置にとどまるとする。以下の4つの設問全てに解答せよ。

図1 一列に並んだホールとホール間で遷移する球（球がホール3にある場合）

(1) はじめにホール2にあった球が3回の試行の後、ホール5にある確率を求めよ。また、はじめにホール3にあった球が3回の試行の後、ホール1にある確率を求めよ。ただし、 $p=q=r=1/3$ とする。

(2) はじめに球を配置するホールの番号を確率変数 $X \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ とする。図2に示す累積分布関数 $F(x) = P(X \leq x)$ に従って1つのホールを選ぶ、設問(1)と同じ遷移確率を持つ球を選んだホールに配置し、3回の試行の後、球がホール5にあるとするとき、はじめに球を配置したホールの番号は2,3,4である確率をそれぞれ求めよ。

図2 はじめに球を配置するホールの番号の累積分布関数

(3) $n$ 回試行後に球が位置するホールの番号を確率変数 $X_n$ とする。球が各ホールにある確率を $P(X_n = i_n)$ ( $i_n = 1, 2, 3, 4, 5$ )とする。また、ホール間の球の遷移確率は $n$ に無関係であることと、 $n$ 回試行の後の球の位置は $n-1$ 回の試行の前の経過に無関係であることから、定常推移確率行列は下式で表せる。

$P_{i_{n-1}, i_n} = P(X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1}) = P(X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1}, ..., X_1 = i_1, X_0 = i_0) = P(X_n = i_n | X_{n-1} = i_{n-1})$

はじめにホール $i$ ( $i = 1, 2, 3, 4, 5$ )に配置された球がホール1に達する確率を $d_i$ とするとき、

下式に示す関係を満足することを示せ。

$d_i = \sum_{j=1}^{5} P_{ij} d_j$

(4) 設問(3)の結果を利用して。はじめにホール4に配置した球がホール1に達する確率を求めよ。ただし、 $p = q = 1/2, r = 0$ とする。

题目描述

地面上有 5 个排成一列的洞，从左到右编号为 $1,2,3,4,5$，一颗球在这些洞之间作离散时间随机移动。球位于内部洞 $i$（$i=2,3,4$）时，一次试验后分别移动到 $i-1,i,i+1$ 的概率为 $p,r,q$，其中

$$p>0,\qquad q>0,\qquad r\geq0,\qquad p+q+r=1.$$

球一旦到达洞 $1$ 或洞 $5$，之后均以概率 $1$ 留在原处，因此两端为吸收状态。原题图 1 仅示意五个洞的线性排列及球位于洞 3 时的三种转移；图像本身未包含在当前文件中，以上文字已给出其全部可确定含义。

1. 取 $p=q=r=1/3$。分别求：球初始位于洞 2，三次试验后位于洞 5 的概率；球初始位于洞 3，三次试验后位于洞 1 的概率。

2. 用随机变量 $X\in\{1,2,3,4,5\}$ 表示球的初始洞号，并按原题图 2 所示的累积分布函数 $F(x)=P(X\leq x)$ 选择初始洞；随后采用与第 1 问相同的转移概率。已知三次试验后球位于洞 5，分别求初始洞号为 $2,3,4$ 的条件概率。当前文件缺少图 2；Kai 可唯一恢复的图中概率质量为

   $$P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=\frac16,\qquad P(X=5)=\frac13,$$

   即 $F$ 在整数 $1,2,3,4,5$ 处依次累计到 $1/6,1/3,1/2,2/3,1$。

3. 令 $X_n$ 为第 $n$ 次试验后球所在洞号，各洞的概率写作 $P(X_n=i_n)$（$i_n=1,\ldots,5$）。转移概率与 $n$ 无关，且过程具有马尔可夫性：

   $$\begin{aligned} P_{i_{n-1},i_n} &=P(X_n=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1})\\ &=P(X_n=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1},\ldots,X_1=i_1,X_0=i_0). \end{aligned}$$

   若球初始位于洞 $i$ 时最终到达洞 1 的概率为 $d_i$，证明

   $$d_i=\sum_{j=1}^5P_{ij}d_j.$$

4. 利用第 3 问，取 $p=q=1/2,\ r=0$，求球初始位于洞 4 时最终到达洞 1 的概率。

Kai

(1) $p=q=r=1/3$ とする。ホール2から3回後にホール5へ到達するには

$$2\to3\to4\to5$$

という経路しかないので、

$$P(X_3=5\mid X_0=2)=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

ホール3から3回後にホール1にいる経路は

$$3\to2\to1\to1,\qquad 3\to2\to2\to1,\qquad 3\to3\to2\to1$$

である。したがって、

$$P(X_3=1\mid X_0=3) =\frac13\frac13\cdot1 +\left(\frac13\right)^3 +\left(\frac13\right)^3 =\frac5{27}.$$

(2) F(x)のグラフより、 P(X=1) = 1/6 P(X=2) = 1/3 - 1/6 = 1/6 P(X=3) = 1/2 - 1/3 = 1/6 P(X=4) = 2/3 - 1/2 = 1/6 P(X=5) = 1 - 2/3 = 1/3

3回後にホール5にいる条件付き確率は、各初期位置について

$$P(X_3=5\mid X_0=i) =\left(0,\frac1{27},\frac5{27},\frac{14}{27},1\right)_i.$$

図2から読み取った上記の事前確率を用いると、

$$P(X_3=5) =\frac16\left(\frac1{27}+\frac5{27}+\frac{14}{27}\right)+\frac13 =\frac{37}{81}.$$

よって Bayes の定理から、

$$\begin{aligned} P(X_0=2\mid X_3=5)&=\frac{(1/6)(1/27)}{37/81}=\frac1{74},\\ P(X_0=3\mid X_3=5)&=\frac{(1/6)(5/27)}{37/81}=\frac5{74},\\ P(X_0=4\mid X_3=5)&=\frac{(1/6)(14/27)}{37/81}=\frac7{37}. \end{aligned}$$

なお、Markdown の問題文には図2そのものが含まれていないため、ここでは元の解答が図から読み取った事前確率を用いた。

(3) 初期位置が $i$ のとき最終的にホール1へ到達する事象を $D$ とする。最初の1回の遷移後の位置について全確率の公式を用いると、

$$d_i=P(D\mid X_0=i) =\sum_{j=1}^5P(X_1=j\mid X_0=i) P(D\mid X_1=j,X_0=i).$$

Markov 性と推移確率の定常性により

$$P(D\mid X_1=j,X_0=i)=P(D\mid X_1=j)=d_j$$

なので、

$$\boxed{d_i=\sum_{j=1}^5P_{ij}d_j}.$$

(4) $p=q=1/2,\ r=0$ のとき、

$$d_1=1,\qquad d_5=0,\qquad d_i=\frac12d_{i-1}+\frac12d_{i+1}\quad(i=2,3,4).$$

内点で二階差分が0なので $d_i$ は $i$ の一次関数である。境界条件を満たす解は

$$d_i=\frac{5-i}{4}$$

であり、したがって、

$$\boxed{d_4=\frac14}.$$