東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2019年8月実施 向量解析

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• Gradient-Divergence-and-Curl

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$xyz$ 座標空間内の原点 $O$ に対する位置ベクトル $\vec{r}$ について、以下の3つの設問全てに解答せよ。

(1) 点 $Q$ が原点を中心とする半径 $a$ の球面上にあり、その球面上の位置ベクトルを $\vec{r}$ とするとき、球面に接する平面上の点の位置ベクトル $\vec{f}$ との関係式を $a$ , $\vec{f}$ , $\vec{r}$ を用いて示せ。また、その接平面と $x$ 軸が交わるとき、その交点の座標を $x$ 方向の単位ベクトル $\vec{n_x}$ , $\vec{r}$ , $a$ を用いて求めよ。

(2) 設問(1)で求めた交点の $x$ 座標が $3a$ となる点 $Q$ の位置ベクトル $\vec{r}$ が満たす関係式を求めよ。また、そのような点 $Q$ の集まりの概形を図示せよ。

(3) $xy$ 座標平面上の領域 $E$ の上で定義された曲面が $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ として与えられるとき、その曲面の領域 $E$ における表面積を求めよ。ただし、領域 $E$ は $x^2+y^2\leq3$ とし、 $\vec{r}$ は曲面上の位置ベクトルである。

なお、 $\vec{r}(u,v) = [x(u, v), y(u, v), z(u,v)]$ の2変数 $u,v$ が $uv$ 座標平面上の領域 $D$ を動いてできる曲面の表面積 $S$ は、

$$S = \iint_D \left\| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right\| dudv$$

で求まることを用いてもよい。

题目描述

在 $xyz$ 坐标空间中，以 $O$ 为原点，位置向量记为 $\vec r$。回答以下三问：

1. 点 $Q$ 位于以原点为球心、半径为 $a$ 的球面上，其位置向量为 $\vec r$。若该球面在 $Q$ 处的切平面上任一点的位置向量为 $\vec f$，用 $a,\vec f,\vec r$ 写出三者满足的关系式。若此切平面与 $x$ 轴相交，再用 $x$ 方向单位向量 $\vec n_x$、$\vec r$ 和 $a$ 表示交点坐标。

2. 若第 1 问所得交点的 $x$ 坐标为 $3a$，求相应接点 $Q$ 的位置向量 $\vec r$ 所满足的关系，并画出所有这类点 $Q$ 构成的集合的大致形状。

3. 在 $xy$ 平面的区域

   $$E=\{(x,y):x^2+y^2\leq3\}$$

   上，给定曲面

   $$z=\sqrt{4-x^2-y^2}.$$

   求该曲面位于区域 $E$ 上方部分的表面积，其中 $\vec r$ 表示曲面上的位置向量。

可以使用如下参数曲面面积公式：若

$$\vec r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]$$

由 $(u,v)$ 在 $uv$ 平面区域 $D$ 内变化生成，则

$$S=\iint_D \left\| \frac{\partial\vec r}{\partial u} \times \frac{\partial\vec r}{\partial v} \right\|\,du\,dv.$$

Kai

(1) 球面の方程式は $|\vec{r}| = a$ 。接平面上の点の位置ベクトル $\vec{f}$ は、接点 $\vec{r}$ と接平面上の任意の点 $\vec{f}$ に対して、 $\vec{r}$ と $(\vec{f} - \vec{r})$ が直交するので、

$$\vec{r} \cdot (\vec{f} - \vec{r}) = 0$$

$$\vec{r} \cdot \vec{f} = |\vec{r}|^2 = a^2$$

$$\vec{r} \cdot \vec{f} = a^2$$

接平面と $x$ 軸との交点を $(x, 0, 0)$ とすると、この点は接平面上にあるので、 $\vec{f} = (x, 0, 0)$ とおける。 $x$ 方向の単位ベクトル $\vec{n_x} = (1, 0, 0)$ なので、 $\vec{f} = x \vec{n_x}$ と表せる。

$$\vec{r} \cdot (x \vec{n_x}) = a^2$$

$$x (\vec{r} \cdot \vec{n_x}) = a^2$$

$$x = \frac{a^2}{\vec{r} \cdot \vec{n_x}} = \frac{a^2}{r_x}$$

交点の座標は $\left(\frac{a^2}{r_x}, 0, 0\right)$ となる。

(2) 交点の $x$ 座標が $3a$ なので、

$$\frac{a^2}{r_x} = 3a$$

$$r_x = \frac{a}{3}$$

点 $Q$ の位置ベクトル $\vec{r}$ が満たす関係式は $x = \frac{a}{3}$ である。これは平面を表す。 $|\vec{r}| = a$ より、 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ であるから、 $\left(\frac{a}{3}\right)^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 。よって、 $y^2 + z^2 = a^2 - \frac{a^2}{9} = \frac{8}{9}a^2$ 。これは円を表す。 点 $Q$ の集まりの概形は、 $x = \frac{a}{3}$ 平面上の中心が $(\frac{a}{3}, 0, 0)$ で半径が $\frac{2\sqrt{2}}{3}a$ の円である。

(3) $x = u, y = v$ とすると、 $z = \sqrt{4 - u^2 - v^2}$ 。

$$\vec{r}(u, v) = (u, v, \sqrt{4 - u^2 - v^2})$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \left(1, 0, \frac{-u}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}}\right)$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \left(0, 1, \frac{-v}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}}\right)$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \left(\frac{u}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}}, \frac{v}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}}, 1\right)$$

$$\left\| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right\| = \sqrt{\frac{u^2}{4 - u^2 - v^2} + \frac{v^2}{4 - u^2 - v^2} + 1} = \sqrt{\frac{u^2 + v^2 + 4 - u^2 - v^2}{4 - u^2 - v^2}} = \sqrt{\frac{4}{4 - u^2 - v^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}}$$

領域 $E$ は $x^2 + y^2 \leq 3$ なので、 $u^2 + v^2 \leq 3$ 。

$$S = \iint_E \frac{2}{\sqrt{4 - u^2 - v^2}} dudv$$

極座標変換 $u = r \cos \theta, v = r \sin \theta$ を用いると、 $dudv = r dr d\theta$ 、 $0 \leq r \leq \sqrt{3}, 0 \leq \theta \leq 2\pi$ 。

$$S = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \frac{2}{\sqrt{4 - r^2}} r dr d\theta = 2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{3}} \frac{r}{\sqrt{4 - r^2}} dr$$

$$= 4\pi \left[ -\sqrt{4 - r^2} \right]_0^{\sqrt{3}} = 4\pi (-\sqrt{4 - 3} + \sqrt{4}) = 4\pi (-1 + 2) = 4\pi$$

表面積は $4\pi$ である。