東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2019年8月実施 微分方程式

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• Tokyo-University
• Laplace-Transform

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

下記の微分方程式の解 $y(x)$ を求めよ.

1. $y' = xy + x + 2y + 2$

2. $y'' + y = \sin x$ $y(0) = 0, y'(0) = 0$

3. $y''' + 4y'' + 3y' = 6x$ $y(0) = 3, y'(0) = -\frac{20}{3}, y''(0) = 12$

ただし、

$$\mathcal{L}[f^{(n)}(x)] = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)$$

また、

$$f * g = \int_0^x f(x-u)g(u) du, x > 0$$

について、

$$\mathcal{L}[f * g] = \mathcal{L}[f] \mathcal{L}[g]$$

が成立することを用いてもよい。

题目描述

分别求下列微分方程或初值问题的解 $y(x)$：

1. 求解：

   $$y'=xy+x+2y+2.$$

2. 求解初值问题：

   $$y''+y=\sin x,\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0.$$

3. 求解：

   $$y'''+4y''+3y'=6x,$$
   $$y(0)=3,\qquad y'(0)=-\frac{20}{3},\qquad y''(0)=12.$$

解题时可以使用导数的拉普拉斯变换公式

$$\mathcal L[f^{(n)}(x)] =s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0),$$

以及卷积

$$(f*g)(x)=\int_0^x f(x-u)g(u)\,du\qquad(x>0)$$

所满足的卷积定理

$$\mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\,\mathcal L[g].$$

Kai

1. $y' = xy + x + 2y + 2$ 可以写成 $\frac{dy}{dx} = (x+2)(y+1)$ .

$$\frac{dy}{y+1} = (x+2)dx$$

两边积分得到：

$$\int \frac{dy}{y+1} = \int (x+2) dx$$

$$\ln|y+1| = \frac{x^2}{2} + 2x + C$$

符号を任意定数に含めると

$$y+1 = Ae^{\frac{x^2}{2} + 2x}\qquad(A\in\mathbb{R})$$

$$y = Ae^{\frac{x^2}{2} + 2x} - 1$$

$A=0$ は定数解 $y=-1$ を含む。

2. $y'' + y = \sin x, y(0) = 0, y'(0) = 0$ 特征方程 $r^2 + 1 = 0$ , $r = \pm i$ , 所以 $y_h = c_1 \cos x + c_2 \sin x$ . 令 $y_p = Ax \cos x + Bx \sin x$ , 则 $y_p' = A \cos x - Ax \sin x + B \sin x + Bx \cos x$ , $y_p'' = -A \sin x - A \sin x - Ax \cos x + B \cos x + B \cos x - Bx \sin x = -2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x$ . 代入原方程，得到： $(-2A \sin x - Ax \cos x + 2B \cos x - Bx \sin x) + (Ax \cos x + Bx \sin x) = \sin x$ $-2A \sin x + 2B \cos x = \sin x$ , 所以 $A = -\frac{1}{2}, B = 0$ . 因此 $y_p = -\frac{1}{2} x \cos x$ . 因此 $y = c_1 \cos x + c_2 \sin x - \frac{1}{2} x \cos x$ . $y(0) = c_1 = 0$ . $y' = -c_1 \sin x + c_2 \cos x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} x \sin x$ . $y'(0) = c_2 - \frac{1}{2} = 0$ , 所以 $c_2 = \frac{1}{2}$ . 因此 $y = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} x \cos x$ .

3. $v=y'$ とおくと

$$v''+4v'+3v=6x,\qquad v(0)=-\frac{20}{3},\quad v'(0)=12.$$

その一般解を

$$v=C_1e^{-x}+C_2e^{-3x}+2x-\frac83$$

と書ける。初期条件から

$$C_1+C_2=-4,\qquad C_1+3C_2=-10,$$

したがって $C_1=-1,\ C_2=-3$ である。もう一度積分すると

$$y=e^{-x}+e^{-3x}+x^2-\frac83x+C_3.$$

$y(0)=3$ より $C_3=1$ なので、

$$\boxed{y(x)=1+e^{-x}+e^{-3x}+x^2-\frac83x}.$$