東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2018年8月実施 微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

xy 平面にある曲線 $C$ 上の点 $P(x, y)$ において接線 $l$ と法線 $m$ を引く. 接線 $l$ と $y$ 軸との交点を点 $Q(0, q)$ , 法線 $m$ と $y$ 軸との交点を点 $R(0, r)$ とする. また, 点 $P$ から $y$ 軸上に下ろした垂線の足を点 $S(0, s)$ とするとき, $2s = r - q$ の関係が成り立っている. 以下の6つの設問全てに解答せよ.

(1) $q$ を $x$ と $y$ を用いて表せ.

(2) $r$ を $x$ と $y$ を用いて表せ.

(3) $2s = r - q$ の関係を用いて, 曲線 $C$ を表現する微分方程式を求めよ.

(4) $a = \frac{dy}{dx}$ とおき, 問(3)での微分方程式を変形し, $y$ を $x$ と $a$ の関数として表せ.

(5) 問(4)で求めた式の両辺を $x$ で微分して得られる微分方程式を解き, $y$ の一般解を求めよ.

(6) 曲線 $C$ が接線 $l$ として $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ を持つとき, 曲線 $C$ の概形を図示せよ.

题目描述

在 $xy$ 平面内曲线 $C$ 上任取一点 $P(x,y)$，作该点的切线 $l$ 与法线 $m$。设 $l$ 与 $y$ 轴交于 $Q(0,q)$，$m$ 与 $y$ 轴交于 $R(0,r)$；从 $P$ 向 $y$ 轴作垂线，垂足为 $S(0,s)$。已知始终满足

$$2s=r-q.$$

回答以下六问：

1. 用 $x,y$ 以及曲线在 $P$ 处的导数表示切线纵截距 $q$。

2. 用 $x,y$ 以及曲线在 $P$ 处的导数表示法线纵截距 $r$。

3. 利用关系 $2s=r-q$，导出曲线 $C$ 所满足的微分方程。

4. 令

   $$a=\frac{dy}{dx},$$

   变形第 3 问所得方程，把 $y$ 表示为 $x,a$ 的函数。

5. 将第 4 问等式两边对 $x$ 求导并求解所得微分方程，给出 $y$ 的一般解。

6. 若曲线 $C$ 的一条切线为

   $$y=\frac12x+\frac12,$$

   确定相应的曲线并画出其大致形状。

Kai

Let $y' = \frac{dy}{dx}$ .

(1) The equation of the tangent line $l$ at $P(x, y)$ is $Y - y = y'(X - x)$ . The y-intercept is $q = y - xy'$ .

(2) The slope of the normal line $m$ at $P(x, y)$ is $-\frac{1}{y'}$ . The equation of the normal line $m$ is $Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$ . The y-intercept is $r = y + \frac{x}{y'}$ .

(3) Since $s = y$ , we have $2y = r - q = (y + \frac{x}{y'}) - (y - xy')$ . This simplifies to $2y = \frac{x}{y'} + xy'$ . Multiplying by $y'$ gives $2yy' = x + xy'^2$ , or $xy'^2 - 2yy' + x = 0$ .

(4) Let $a = \frac{dy}{dx} = y'$ . Then the equation becomes $xa^2 - 2ya + x = 0$ . We want to express $y$ as a function of $x$ and $a$ . Solving for $y$ , we get $2ya = xa^2 + x$ , so $y = \frac{x(a^2 + 1)}{2a} = \frac{x}{2}(a + \frac{1}{a})$ .

(5) $y=\frac{x}{2}(a+\frac1a)$ を $x$ で微分し、 $y'=a$ を用いると

$$a=\frac12\left(a+\frac1a\right) +\frac{x}{2}\left(1-\frac1{a^2}\right)\frac{da}{dx}.$$

$a^2\ne1$ のとき整理して

$$x\frac{da}{dx}=a,\qquad \frac{da}{a}=\frac{dx}{x}.$$

したがって $a=Cx$ であり、

$$\boxed{y=\frac{C}{2}x^2+\frac{1}{2C}}\qquad(C\ne0)$$

を得る。一方、途中で除いた $a^2-1=0$ からは特別解

$$\boxed{y=x,\qquad y=-x}$$

も得られる。これらはいずれも $xy'^2-2yy'+x=0$ を直接満たす。

(6) 一般解 $y=\frac{C}{2}x^2+\frac1{2C}$ の $x=x_0$ における接線の傾きと切片は

$$Cx_0,\qquad \frac1{2C}-\frac{C}{2}x_0^2$$

である。これらをそれぞれ $1/2,\ 1/2$ とおくと

$$C=\frac34,\qquad x_0=\frac23.$$

よって求める曲線は

$$\boxed{y=\frac38x^2+\frac23}$$

であり、接点は $(2/3,\,5/6)$ である。概形は頂点 $(0,2/3)$ をもち上に開く放物線で、そこで直線 $y=x/2+1/2$ に接する。