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東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2018年8月実施 線形代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

  1. 行列 AA について以下の3つの設問全てに解答せよ.
A=[−1222−1222−1]A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}

(1) AA の固有値を求めよ.

(2) U−1AUU^{-1}AU が対角行列となる直交行列 UU を1つ示せ.

(3) AA を用いて, 2次形式 F(x,y,z)F(x, y, z) を

F(x,y,z)=[xyz]A[xyz]F(x, y, z) = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

とし、さらに

G(x,y,z)=x2+y2+z2G(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

とする. ただし, G(x,y,z)≠0G(x, y, z) \neq 0 とする. このとき, F(x,y,z)G(x,y,z)\frac{F(x, y, z)}{G(x, y, z)} の最大値と最小値を求め, そのときの x,y,zx, y, z の関係式をそれぞれ示せ.

题目描述​

对矩阵

A=[−1222−1222−1]A=\begin{bmatrix} -1&2&2\\ 2&-1&2\\ 2&2&-1 \end{bmatrix}

回答以下三问：

  1. 求 AA 的全部特征值。

  2. 给出一个直交矩阵 UU，使 U−1AUU^{-1}AU 为对角矩阵。

  3. 用 AA 定义二次型

    F(x,y,z)=[xyz]A[xyz],F(x,y,z)= \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} A \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},

    并令

    G(x,y,z)=x2+y2+z2,G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,

    其中 G(x,y,z)≠0G(x,y,z)\neq0。求 Rayleigh 商

    F(x,y,z)G(x,y,z)\frac{F(x,y,z)}{G(x,y,z)}

    的最大值与最小值，并分别给出取得最大值、最小值时 x,y,zx,y,z 满足的关系。

Kai​

(1) 固有値を求める。

∣A−λE∣=∣−1−λ222−1−λ222−1−λ∣=0|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -1 - \lambda & 2 & 2 \\ 2 & -1 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0
(−1−λ)[(−1−λ)2−4]−2[2(−1−λ)−4]+2[4−2(−1−λ)]=0(-1 - \lambda)[(-1 - \lambda)^2 - 4] - 2[2(-1 - \lambda) - 4] + 2[4 - 2(-1 - \lambda)] = 0
(−1−λ)(λ2+2λ−3)−2(−2−2λ−4)+2(4+2+2λ)=0(-1 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda - 3) - 2(-2 - 2\lambda - 4) + 2(4 + 2 + 2\lambda) = 0
−λ2−2λ+3−λ3−2λ2+3λ+12+4λ+12+4λ=0-\lambda^2 - 2\lambda + 3 - \lambda^3 - 2\lambda^2 + 3\lambda + 12 + 4\lambda + 12 + 4\lambda = 0
−λ3−3λ2+9λ+27=0-\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda + 27 = 0
λ3+3λ2−9λ−27=0\lambda^3 + 3\lambda^2 - 9\lambda - 27 = 0
(λ+3)(λ2−9)=0(\lambda + 3)(\lambda^2 - 9) = 0
(λ+3)(λ−3)(λ+3)=0(\lambda + 3)(\lambda - 3)(\lambda + 3) = 0
λ=−3,−3,3\lambda = -3, -3, 3

したがって、固有値は −3-3 (重解) と 33 である。

(2) 直交行列 UU を求める。 λ=3\lambda = 3 のとき、

(A−3E)[xyz]=[000](A - 3E) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[−4222−4222−4][xyz]=[000]\begin{bmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
−4x+2y+2z=0-4x + 2y + 2z = 0
2x−4y+2z=02x - 4y + 2z = 0
2x+2y−4z=02x + 2y - 4z = 0
x=y=zx = y = z

したがって、固有ベクトルは k[111]k \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ( k≠0k \neq 0 ) である。 正規化すると、 13[111]\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 。

λ=−3\lambda = -3 のとき、

(A+3E)[xyz]=[000](A + 3E) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[222222222][xyz]=[000]\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
x+y+z=0x + y + z = 0

y=0y = 0 とすると, x=−zx = -z . したがって, 固有ベクトルは k[10−1]k \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} ( k≠0k \neq 0 ) である. 正規化すると, 12[10−1]\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} . x=0x = 0 とすると, y=−zy = -z . したがって, 固有ベクトルは k[01−1]k \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} ( k≠0k \neq 0 ) である. 正規化すると, 12[01−1]\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} .

直交行列 UU は

U=(13121613−1216130−26)U = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&0&-\frac2{\sqrt6} \end{pmatrix}

と取れる。このとき

UTU=I,U−1AU=UTAU=diag⁡(3,−3,−3).U^TU=I,\qquad U^{-1}AU=U^TAU=\operatorname{diag}(3,-3,-3).

(3) F(x,y,z)G(x,y,z)\frac{F(x, y, z)}{G(x, y, z)} の最大値と最小値を求める。 F(x,y,z)=[xyz]A[xyz]=−x2−y2−z2+4xy+4xz+4yzF(x, y, z) = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = -x^2 - y^2 - z^2 + 4xy + 4xz + 4yz G(x,y,z)=x2+y2+z2G(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 求める最大値と最小値は、行列 AA の固有値であるから、最大値は 33 , 最小値は −3-3 である。

最大値 33 のとき, x=y=zx = y = z 。 すなわち, x:y:z=1:1:1x:y:z = 1:1:1 最小値 −3-3 のとき, x+y+z=0x + y + z = 0 。

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