東京大学新領域創成科学研究科人間環境学専攻 2017年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

実数 $t \geq 0$ のとき、関数 $x(t)$ と $y(t)$ を解とする非線形微分方程式

\begin{cases} \frac{dx}{dt} = x - xy \\ \frac{dy}{dt} = -y + xy \end{cases}

を考える。 $xy$ 平面上の点 $(1, 1)$ 近傍での点 $(x(t), y(t))$ の動き方 (解曲線) を $xy$ 平面上に図示せよ。ただし、点 $(x(t), y(t))$ の軌道と方向を示すこと。

对实数 $t\geq0$ ，考虑以 $x(t),y(t)$ 为未知函数的非线性微分方程组

\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=x-xy,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=-y+xy. \end{cases}

在 $xy$ 平面上画出点 $(x(t),y(t))$ 在平衡点 $(1,1)$ 邻域内的运动方式，即局部解曲线；图中必须同时标明轨道形状和随 $t$ 增大时的运动方向。

首先，找到平衡点，即使得 $\frac{dx}{dt} = 0$ 且 $\frac{dy}{dt} = 0$ 的点。

$x - xy = 0 \implies x(1-y) = 0 \implies x = 0 \text{ or } y = 1$ $-y + xy = 0 \implies y(x-1) = 0 \implies y = 0 \text{ or } x = 1$

因此，平衡点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ 。

接下来，分析在 $(1, 1)$ 附近的解的性质。计算雅可比矩阵：

J = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(x - xy) & \frac{\partial}{\partial y}(x - xy) \\ \frac{\partial}{\partial x}(-y + xy) & \frac{\partial}{\partial y}(-y + xy) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - y & -x \\ y & -1 + x \end{pmatrix}

在 $(1, 1)$ 处，雅可比矩阵为：

J(1, 1) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

特征方程为 $\det(J - \lambda I) = 0$ ，即：

\det\begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0

特征值为 $\lambda = \pm i$ 。

纯虚特征值だけでは非線形系の中心性は結論できないので、第一積分を確認する。 $x>0,\ y>0$ で

H(x,y)=x-\log x+y-\log y

とおくと、

\frac{dH}{dt} =\left(1-\frac1x\right)x(1-y) +\left(1-\frac1y\right)y(x-1) =(x-1)(1-y)+(y-1)(x-1) =0.

また $H$ は $(1,1)$ で狭義の極小値をもち、その Hessian は単位行列である。したがって $(1,1)$ の十分近くでは $H(x,y)=\text{const.}$ は $(1,1)$ を囲む閉曲線となり、解軌道はこれらの閉曲線上を動く。よって $(1,1)$ は中心である。

方向は、例えば $(x,y)=(1+\varepsilon,1)$ では $x'=0,\ y'=\varepsilon>0$ となるので上向きである。したがって軌道は $(1,1)$ のまわりを反時計回りに回る。