東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 微分方程

标签：

• Tokyo-University
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

定数変化法を用いて下記の非斉次1階線形微分方程式の一般解を求めよ.

$$\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2 e^x$$

题目描述

使用常数变易法，求非齐次一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^2e^x$$

的一般解；方程在不经过 $x=0$ 的区间上讨论。

Kai

We are given the first-order linear differential equation:

$$\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2 e^x$$

以下では、方程式が定義される $x=0$ を含まない区間ごとに解を考える。

First, we find the integrating factor. The coefficient of $y$ is $-\frac{2}{x}$ .

$$\mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2\ln|x|} = e^{\ln(x^{-2})} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$$

Multiply both sides of the differential equation by the integrating factor:

$$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{x^3} y = e^x$$

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2} y \right) = e^x$$

Integrate both sides with respect to $x$ :

$$\int \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2} \right) dx = \int e^x dx$$

$$\frac{y}{x^2} = e^x + C$$

Therefore,

$$y = x^2(e^x + C)$$

$$y = x^2 e^x + Cx^2$$

Thus, the general solution is:

$$y = x^2e^x + Cx^2$$