東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 微分方程式

标签：

• Tokyo-University
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

定数変化法を用いて下記の非斉次1階線形微分方程式の一般解を求めよ.

$$\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = x^2 e^x$$

题目描述

使用常数变易法，求非齐次一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^2e^x$$

的一般解；方程在不经过 $x=0$ 的区间上讨论。

Kai

$x=0$ を含まない区間で考える。斉次方程式 $y'-2y/x=0$ の解は $y=Cx^2$ である。定数変化法により $C$ を関数 $C(x)$ に置き換え、

$$y=C(x)x^2,\qquad y'=C'(x)x^2+2xC(x)$$

を非斉次方程式に代入すると、

$$C'(x)x^2=x^2e^x,\qquad C'(x)=e^x$$

となる。したがって $C(x)=e^x+C_0$ であり、一般解は

$$\boxed{y=x^2(e^x+C_0)}$$

である。