東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

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1階微分方程式について以下の問に答えよ。

1. 下記の微分方程式は完全微分方程式であることを示して、その一般解を求めよ。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin y + y^2 \cos x}{2x\cos y - 2y\sin x}$$

2. 下記の微分方程式の一般解を求めよ。

$$(2x\sqrt{x^2 + y^2} + x)dx + (-2y\sqrt{x^2 + y^2} + y)dy = 0$$

题目描述

回答下列关于一阶微分方程的问题。

1. 证明微分方程

   $$\frac{dy}{dx} =\frac{-2\sin y+y^2\cos x}{2x\cos y-2y\sin x}$$

   是恰当微分方程，并求其一般解。

2. 求微分方程

   $$\left(2x\sqrt{x^2+y^2}+x\right)dx +\left(-2y\sqrt{x^2+y^2}+y\right)dy=0$$

   的一般解。

Kai

1)

与式を微分形式に直すと

$$\left(2\sin y-y^2\cos x\right)dx+\left(2x\cos y-2y\sin x\right)dy=0.$$

ここで

$$M=2\sin y-y^2\cos x,\qquad N=2x\cos y-2y\sin x$$

とおけば

$$\frac{\partial M}{\partial y}=2\cos y-2y\cos x =\frac{\partial N}{\partial x}.$$

よって完全微分方程式である。 $F_x=M$ を $x$ で積分すると

$$F=2x\sin y-y^2\sin x+\phi(y).$$

$F_y=N$ と比較して $\phi'(y)=0$ を得るので、一般解は

$$\boxed{2x\sin y-y^2\sin x=C}.$$

2)

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおく。 $r>0$ では

$$\begin{aligned} &(2xr+x)dx+(-2yr+y)dy\\ &\quad=r\left[\left(2x+\frac{x}{r}\right)dx+\left(-2y+\frac{y}{r}\right)dy\right]\\ &\quad=r\,d\left(x^2-y^2+r\right). \end{aligned}$$

したがって一般解は

$$\boxed{x^2-y^2+\sqrt{x^2+y^2}=C}\qquad(r>0).$$

原点では元の微分形式の両係数が 0 となるため、原点そのものは特異点であり、そこでの接線方向は方程式から定まらない。