東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 向量解析

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

図1に示されるように直交座標系x, y, zを考え、正規直交基底ベクトル $\vec{e_x}$ , $\vec{e_y}$ , $\vec{e_z}$ を定義する。3次元空間にベクトル場

$$a=\frac{\sqrt{6}}{2}z^2\vec{e_x}+\frac{\sqrt{6}}{2}x^2\vec{e_y}+\frac{\sqrt{6}}{4}y^2\vec{e_z}$$

を与え、点Pの座標を(1,0,0), 点Qの座標を(0,2,0), 点Rの座標を(0,0,2)とする。三角形PQR( $x\geq0$ , $y\geq0$ , $z\geq0$ )を平面x+y=1で切断し、直線QRと平面x+y=1の交点をTとする。このとき、切り取られた三角形をAとし(図1の斜線部分), dSを三角形Aの面積要素とする。以下の4つの設問全てに解答せよ。

(1) 三角形Aの単位法線ベクトル $\vec{n}=n_x\vec{e_x}+n_y\vec{e_y}+n_z\vec{e_z}$ の成分 $n_x$ , $n_y$ , $n_z$ を求めよ。また、三角形Aの面積を求めよ。

(2) 点Pから点Tへの直線経路を $C_1$ , 点Tから点Rへの直線経路を $C_2$ , 点Rから点Pへの直線経路を $C_3$ とする。閉直線の経路を $C=C_1\cup C_2\cup C_3$ とし、閉直線上にある点の位置ベクトルを $\vec{r}$ とするとき、線積分 $\oint_C \vec{a} \cdot d\vec{r}$ を求めよ。

(3) 三角形A上の面積分 $\iint_A (\nabla\times \vec{a}) \cdot \vec{n} dS$ を求めよ。

(4) 3次元空間にベクトル場

$$\vec{b}=-\frac{\sqrt{6}}{12}y^3\vec{e_x}-\frac{\sqrt{6}}{6}z^3\vec{e_y}-\frac{\sqrt{6}}{6}x^3\vec{e_z}$$

を与える。 $\iint_A (\nabla^2\vec{b}) \cdot \vec{n} dS$ を求めよ。

题目描述

在三维直角坐标系 $x,y,z$ 中，取标准正交基 $\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$，并给定向量场

$$\vec a=\frac{\sqrt6}{2}z^2\vec e_x +\frac{\sqrt6}{2}x^2\vec e_y +\frac{\sqrt6}{4}y^2\vec e_z.$$

设 $P=(1,0,0)$、$Q=(0,2,0)$、$R=(0,0,2)$。在第一卦限部分（$x,y,z\geq0$）考虑三角形 $PQR$，用平面 $x+y=1$ 截取它；令直线 $QR$ 与该平面的交点为 $T$，截得的阴影三角形记为 $A$，其面积元为 $dS$。原题引用的图 1 未包含在当前文件中；由后续指定的边界 $P\to T\to R\to P$ 可唯一确定 $A=\triangle PTR$，但若图中另有法向箭头，其方向信息现已缺失。

1. 求三角形 $A$ 的单位法向量

   $$\vec n=n_x\vec e_x+n_y\vec e_y+n_z\vec e_z$$

   的三个分量 $n_x,n_y,n_z$，并求 $A$ 的面积。

2. 令 $C_1,C_2,C_3$ 依次为从 $P$ 到 $T$、从 $T$ 到 $R$、从 $R$ 回到 $P$ 的直线段，并令闭合路径

   $$C=C_1\cup C_2\cup C_3.$$

   若闭合路径上点的位置向量为 $\vec r$，求线积分

   $$\oint_C\vec a\cdot d\vec r.$$

3. 求曲面（平面三角形）积分

   $$\iint_A(\nabla\times\vec a)\cdot\vec n\,dS.$$

4. 再给定向量场

   $$\vec b=-\frac{\sqrt6}{12}y^3\vec e_x -\frac{\sqrt6}{6}z^3\vec e_y -\frac{\sqrt6}{6}x^3\vec e_z.$$

   求

   $$\iint_A(\nabla^2\vec b)\cdot\vec n\,dS.$$

Kai

三角形 $PQR$ の平面は

$$2x+y+z=2$$

である。直線 $QR$ 上では $x=0,\ y+z=2$ なので、平面 $x+y=1$ との交点は

$$T=(0,1,1)$$

である。設問 (2) の閉曲線が $P\to T\to R\to P$ と指定されていることから、以下では $A=\triangle PTR$ とする。

(1)

$$\overrightarrow{PT}=(-1,1,1),\qquad \overrightarrow{PR}=(-1,0,2),$$

したがって

$$\overrightarrow{PT}\times\overrightarrow{PR}=(2,1,1),\qquad \left|\overrightarrow{PT}\times\overrightarrow{PR}\right|=\sqrt6.$$

周回 $P\to T\to R\to P$ と右ねじの向きで整合する単位法線を選ぶと

$$\boxed{\boldsymbol n=\frac1{\sqrt6}(2,1,1)},\qquad \boxed{n_x=\frac2{\sqrt6},\ n_y=n_z=\frac1{\sqrt6}}.$$

また

$$\boxed{\operatorname{Area}(A)=\frac{\sqrt6}{2}}.$$

図中に逆向きの法線が指定されていた場合は $-\boldsymbol n$ も単位法線であり、面積分の符号は反転する。ただし、上の向きが設問 (2) の周回と整合する。

(2)

各線分を $0\le t\le1$ で

$$C_1:(1-t,t,t),\qquad C_2:(0,1-t,1+t),\qquad C_3:(t,0,2-2t)$$

と表す。直接代入すると

$$\int_{C_1}\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=\frac{\sqrt6}{12},\qquad \int_{C_2}\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=\frac{\sqrt6}{12},\qquad \int_{C_3}\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=\frac{2\sqrt6}{3}.$$

よって

$$\boxed{\oint_C\boldsymbol a\cdot d\boldsymbol r=\frac{5\sqrt6}{6}}.$$

(3)

$$\nabla\times\boldsymbol a =\sqrt6\left(\frac y2,z,x\right).$$

したがって、問 (1) の法線に対して

$$(\nabla\times\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol n=x+y+z.$$

これは一次関数なので、三角形上の平均値は重心での値に等しい。三角形 $PTR$ の重心は

$$\frac{P+T+R}{3}=\left(\frac13,\frac13,1\right)$$

であり、そこで $x+y+z=5/3$ である。ゆえに

$$\boxed{\iint_A(\nabla\times\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol n\,dS =\frac53\frac{\sqrt6}{2}=\frac{5\sqrt6}{6}}.$$

これはストークスの定理により問 (2) とも一致する。

(4)

ベクトルのラプラシアンを成分ごとに計算すると

$$\nabla^2\boldsymbol b =\left(-\frac{\sqrt6}{2}y,-\sqrt6 z,-\sqrt6 x\right) =-(\nabla\times\boldsymbol a).$$

したがって

$$\boxed{\iint_A(\nabla^2\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol n\,dS=-\frac{5\sqrt6}{6}}.$$

逆向きの法線を採用すれば、(3)、(4) の面積分はともに符号が反転する。