東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 线性代数

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• Matrix-Diagonalization
• Quadratic-Form

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ について、以下の4つの設問全てに解答せよ.

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

(1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。固有ベクトルは正規化すること. (2) $A$ を対角化せよ. (3) $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$ とし、実対称行列 $C$ とその固有ベクトルを列ベクトルとして持つ行列 $X$ について考える。 $\mathbf{x} = X\mathbf{y}$ の変換により、 $Q = \mathbf{x}^T C \mathbf{x}$ は $Q = a_1 y_1^2 + a_2 y_2^2 + \cdots + a_n y_n^2$ の形式となることを示せ。ただし、 $Q$ は実数の定数であり、 $a_1, \dots, a_n$ は実数である。 (4) $\mathbf{p} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}$ とする。 $R = \mathbf{p}^T A \mathbf{p}$ による曲面の方程式を求め、どのような図形か説明せよ。ただし、 $R$ は正の実数の定数である。

题目描述

对矩阵

$$A=\begin{bmatrix} 3&1&0\\ 1&3&0\\ 0&0&\dfrac12 \end{bmatrix}$$

回答以下四问：

1. 求 $A$ 的全部特征值及相应特征向量，并将特征向量归一化。

2. 将 $A$ 对角化。

3. 设

   $$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}.$$

   对实对称矩阵 $C$，令矩阵 $X$ 的各列为 $C$ 的特征向量。证明在变量变换 $\mathbf{x}=X\mathbf{y}$ 下，二次型

   $$Q=\mathbf{x}^TC\mathbf{x}$$

   可写成

   $$Q=a_1y_1^2+a_2y_2^2+\cdots+a_ny_n^2,$$

   其中题设称 $Q$ 为实数常数，$a_1,\ldots,a_n$ 为实数。

4. 设

   $$\mathbf{p}=\begin{bmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix},$$

   且 $R$ 为正常数。写出由 $\mathbf{p}^TA\mathbf{p}=R$ 定义的曲面方程，并说明它是哪一种几何图形。

Kai

(1)

上左の $2\times2$ ブロックの固有値は $4,2$ 、残りの固有値は $1/2$ である。対応する正規化固有ベクトルは、例えば

$$\lambda_1=4:\quad \boldsymbol{v}_1=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\qquad \lambda_2=2:\quad \boldsymbol{v}_2=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\qquad \lambda_3=\frac12:\quad \boldsymbol{v}_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}.$$

これらは互いに直交し、いずれも長さ 1 である。

(2)

固有ベクトルを列に並べて

$$X=\begin{bmatrix} 1/\sqrt2&1/\sqrt2&0\\ 1/\sqrt2&-1/\sqrt2&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix},\qquad \Lambda=\operatorname{diag}\left(4,2,\frac12\right)$$

とおく。 $X$ は直交行列なので $X^{-1}=X^T$ であり、

$$\boxed{X^TAX=\Lambda},\qquad \boxed{A=X\Lambda X^T}.$$

(3)

実対称行列 $C$ には、正規直交固有ベクトル $\boldsymbol{x}_1,\ldots,\boldsymbol{x}_n$ からなる直交行列

$$X=[\boldsymbol{x}_1\ \cdots\ \boldsymbol{x}_n]$$

が存在する。固有値を $a_1,\ldots,a_n$ とすれば

$$X^TCX=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n).$$

$\boldsymbol{x}=X\boldsymbol{y}$ を代入すると

$$Q=\boldsymbol{x}^TC\boldsymbol{x} =\boldsymbol{y}^TX^TCX\boldsymbol{y} =\boxed{\sum_{i=1}^n a_i y_i^2}.$$

(4)

元の座標では

$$\boxed{3p_1^2+2p_1p_2+3p_2^2+\frac12p_3^2=R}.$$

主軸座標

$$u=\frac{p_1+p_2}{\sqrt2},\qquad v=\frac{p_1-p_2}{\sqrt2},\qquad w=p_3$$

を用いると

$$4u^2+2v^2+\frac12w^2=R,$$

すなわち

$$\boxed{\frac{u^2}{R/4}+\frac{v^2}{R/2}+\frac{w^2}{2R}=1}.$$

$R>0$ なので、これは原点を中心とする楕円体である。半軸の長さは、それぞれ $\sqrt R/2,\sqrt{R/2},\sqrt{2R}$ であり、主軸方向は $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3$ である。