東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2017年8月実施 概率统计

标签：

• Tokyo-University
• Conditional-Probability

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

集団において疾病に陽性である割合を有病率と定義する. ある病気の有病率を $r$ とする. この対策として検査Aと検査 Bからなる検査方式を導入する.検査 A は、陽性の人を90%の確率で陽性と判定し、陰性の人でも20%の確率で陽性と判定する.検査Bは確実に陽性と陰性を判定する.検査Aで陽性と判定された場合に限り、必ず検査Bを受けなければならない.なお、対象とする集団全員が必ず始めに検査Aを受けることとし、検査Aを受けずに検査Bを受けることはできない.また、複数回同じ検査を受けることもできない、以下の5つの設問全てに解答せよ.

(1) 検査 A の受診者が陽性と判定される確率を有病率 $r$ を用いて表せ.

(2)検査Aで陽性と判定された受診者が陽性である確率および検査Aで陰性と判定された受診者が陽性である確率を有病率 $r$ を用いて表せ.

(3) 横軸を有病率,縦軸を検査Aで陽性と判定された受診者が陽性である確率としたグラフを示せ.有病率には対数軸を用い、その範囲は 0.0001 から1とする.

(4) 男性と女性の有病率はそれぞれ 1/600, 1/300であるという知見が得られたとき、検査Aで陽性と判定された受診者が男性である確率を求めよ.ただし受診者における男女の割合は等しいものとする.

(5) 問(4)のとき,検査Aの検査費用は受診者数に関わらず1億円であり,検査Bの費用を5千円/人,検査Bにより陽性であることが確認された場合の予防的治療費を1万円/人,検査Aで陰性と判定された陽性患者およびこの検査方式を導入しない場合の陽性患者それぞれの症状悪化に対する治療費を100万円/人とする.陽性患者は予防的治療あるいは症状悪化に対する治療のどちらかを一回受け、その後は検査も治療も受けない. Q人の集団に対し、この検査方式を導入する場合と導入しない場合でこの病気に費やされる総額は金額Cで等しくなった. QおよびCを求めよ.

题目描述

把某人群中实际患病者所占比例定义为患病率，设某疾病的患病率为 $r$。现引入由检查 A、检查 B 组成的筛查方案：检查 A 对实际患病者有 $90\%$ 的概率判为阳性，对实际未患病者也有 $20\%$ 的概率判为阳性；检查 B 能无误地区分患病与未患病。目标人群中的每个人都必须先接受且只能接受一次检查 A；仅当检查 A 判为阳性时，才必须接受一次检查 B，不能跳过检查 A 直接接受检查 B，也不能重复接受同一种检查。回答以下五问：

1. 用患病率 $r$ 表示受检者被检查 A 判为阳性的概率。
2. 分别用 $r$ 表示：被检查 A 判为阳性的受检者实际患病的概率，以及被检查 A 判为阴性的受检者实际患病的概率。
3. 作图表示“检查 A 阳性者实际患病的概率”随患病率的变化。横轴为患病率，采用对数刻度，范围为 $0.0001$ 至 $1$；纵轴为检查 A 阳性者实际患病的概率。
4. 已知男性患病率为 $1/600$，女性患病率为 $1/300$，且受检者中男女比例相等。求被检查 A 判为阳性的受检者是男性的概率。
5. 在第 4 问的条件下，检查 A 的总费用不随受检人数变化，固定为 $1$ 亿日元；检查 B 每人 $5000$ 日元；经检查 B 确认为患病者的预防性治疗每人 $1$ 万日元；实际患病但被检查 A 判为阴性者，以及不引入本筛查方案时的实际患病者，在病情恶化后的治疗均为每人 $100$ 万日元。每名患病者只会接受一次预防性治疗或一次病情恶化后的治疗，此后不再接受检查或治疗。对规模为 $Q$ 的人群，引入与不引入该筛查方案时用于此疾病的总金额恰好相同，均为 $C$。求 $Q$ 与 $C$。

Kai

病気に陽性である事象を $D$ 、検査 A の陽性判定を $A+$ と書く。

(1) 検査 A が陽性となる確率

全確率の公式より

$$\begin{aligned} P(A+) &=P(A+\mid D)P(D)+P(A+\mid D^c)P(D^c)\\ &=\frac{9}{10}r+\frac{1}{5}(1-r)\\ &=\frac{7r+2}{10}. \end{aligned}$$

(2) 検査 A の判定後の有病確率

ベイズの公式から

$$P(D\mid A+) =\frac{P(A+\mid D)P(D)}{P(A+)} =\frac{9r}{7r+2}.$$

また、

$$P(A-) =1-P(A+) =\frac{8-7r}{10}$$

であるから、

$$P(D\mid A-) =\frac{P(A-\mid D)P(D)}{P(A-)} =\frac{r}{8-7r}.$$

(3) 有病率と陽性的中率のグラフ

縦軸の関数は

$$q(r)=P(D\mid A+)=\frac{9r}{7r+2}.$$

その導関数は

$$q'(r)=\frac{18}{(7r+2)^2}>0$$

なので、グラフは単調増加する。横軸を $u=\log_{10}r$ としたグラフは次のようになる。

代表値は次のとおりである。

有病率 $r$	$P(D\mid A+)$
$0.0001$	$1/2223\approx 0.00044984$
$0.001$	$1/223\approx 0.00448430$
$0.01$	$1/23\approx 0.04347826$
$0.1$	$1/3$
$1$	$1$

(4) 陽性判定者が男性である確率

男性を $M$ 、女性を $F$ と書く。それぞれの検査 A 陽性率は

$$\begin{aligned} P(A+\mid M) &=\frac{9}{10}\frac{1}{600} +\frac{1}{5}\frac{599}{600} =\frac{1207}{6000},\\ P(A+\mid F) &=\frac{9}{10}\frac{1}{300} +\frac{1}{5}\frac{299}{300} =\frac{1214}{6000}. \end{aligned}$$

$P(M)=P(F)=1/2$ なので、

$$\begin{aligned} P(M\mid A+) &=\frac{P(A+\mid M)P(M)} {P(A+\mid M)P(M)+P(A+\mid F)P(F)}\\ &=\frac{1207}{1207+1214}\\ &=\frac{1207}{2421} \approx 0.49855. \end{aligned}$$

(5) 費用が等しくなる集団規模

男女が同数なので、集団全体の有病率は

$$\bar r =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{600}+\frac{1}{300}\right) =\frac{1}{400}.$$

したがって、検査 A が陽性となる割合、真の陽性者が検査 A で陽性となる割合、および見逃される割合は、それぞれ

$$\begin{aligned} P(A+)&=\frac{9}{10}\frac{1}{400} +\frac{1}{5}\frac{399}{400} =\frac{807}{4000},\\ P(D\cap A+)&=\frac{9}{4000},\\ P(D\cap A-)&=\frac{1}{4000}. \end{aligned}$$

検査方式を導入する場合の期待総費用は

$$\begin{aligned} C_{\mathrm{with}}(Q) &=100000000 +5000Q\frac{807}{4000} +10000Q\frac{9}{4000} +1000000Q\frac{1}{4000}\\ &=100000000+\frac{5125}{4}Q. \end{aligned}$$

ここで、第 2 項から順に検査 B、予防的治療、見逃された患者の悪化後治療の費用である。一方、導入しない場合はすべての陽性患者が悪化後治療を受けるので、

$$C_{\mathrm{without}}(Q) =1000000Q\frac{1}{400} =2500Q.$$

両者を等置すると、

$$\begin{aligned} 100000000+\frac{5125}{4}Q&=2500Q,\\ Q&=\frac{3200000}{39} \approx 82051.28. \end{aligned}$$

このときの費用は

$$C =2500Q =\frac{8000000000}{39}\ \text{円} \approx 205128205.13\ \text{円}.$$

期待費用を用いる連続的な損益分岐点は以上の値である。 $Q$ を整数に限定すると、この値は整数でないため費用が厳密に等しくなる集団規模は存在せず、損益の大小は $82051$ 人と $82052$ 人の間で入れ替わる。