東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2016年8月実施 概率统计

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• Tokyo-University
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

A箱の中に赤球2個, 白球3個, B箱の中に赤球1個、白球1個が入っている状態を初期状態とする。

1. 初期状態から、A箱から1つの球を任意に取り出してB箱に移した。そのあと、B箱から1つの球を任意に取り出した。B箱から取り出した球が赤球である場合、A箱からB箱へ移した球が赤球であった確率を求めよ。

2. A箱とB箱から任意に1球ずつ取り出して交換する。この球の交換操作において、赤球と白球の配置状態をB箱中の白球の数で表すことができる。B箱中の白球の数が0, 1, 2になる配置をそれぞれ状態1, 2, 3とする。現在の球の配置状態が $i$ で、1回の交換操作で球の配置状態が $j$ になる確率を $P_{ij} (i,j=1,2,3)$ とする。 $P_{ij}$ を要素とする確率行列

$$P=\begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} & P_{13} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} \\ P_{31} & P_{32} & P_{33} \end{bmatrix}$$

を求めよ。

3. 問2)の球の交換操作が $n$ 回行われた後、球の配置状態 $i$ が現れる確率を $p_i(n) (i=1,2,3)$ とし、その確率を成分とするベクトルを $p(n) = \begin{bmatrix} p_1(n) \\ p_2(n) \\ p_3(n) \end{bmatrix}$ で表す。 $n+1$ 回の操作が行われる場合、各状態の現れる確率は $p(n+1) = P^t p(n)$ の関係を利用して求められる( $P^t$ は $P$ の転置行列である)。問2)の球の交換操作が初期状態から2回行われた後、A箱とB箱中の赤球と白球の配置状態が初期状態と同じになる確率を求めよ。

4. 問2)の球の交換操作において、球の各配置状態が現れる確率の極限値は初期状態と無関係で、 $\lim_{n \to \infty} p_i(n) = a_i (i=1,2,3, \sum_{i=1}^3 a_i = 1)$ になる。この性質を利用して、問2)の球の交換操作が無限回まで行われる場合、B箱中の球が赤球だけになる確率を求めよ。

题目描述

初始时，盒 A 中有 2 个红球、3 个白球，盒 B 中有 1 个红球、1 个白球。

1. 从初始状态出发，先从盒 A 中随机取出 1 球移入盒 B，再从盒 B 中随机取出 1 球。已知最后从盒 B 取出的是红球，求先前由盒 A 移入盒 B 的球也是红球的概率。

2. 每次分别从盒 A、盒 B 中随机取 1 球并交换。整个红白球配置可由盒 B 中的白球数表示：盒 B 中白球数为 $0,1,2$ 的配置依次称为状态 $1,2,3$。若当前为状态 $i$，一次交换后变为状态 $j$ 的概率为 $P_{ij}$（$i,j=1,2,3$），求转移概率矩阵

   $$P=\begin{bmatrix} P_{11}&P_{12}&P_{13}\\ P_{21}&P_{22}&P_{23}\\ P_{31}&P_{32}&P_{33} \end{bmatrix}.$$

3. 进行第 2 问的交换操作 $n$ 次后，处于状态 $i$ 的概率记为 $p_i(n)$，并令

   $$p(n)=\begin{bmatrix}p_1(n)\\p_2(n)\\p_3(n)\end{bmatrix}.$$

   已知再交换一次时满足

   $$p(n+1)=P^t p(n),$$

   其中 $P^t$ 为 $P$ 的转置矩阵。求从初始状态开始交换 2 次后，两盒红白球配置与初始状态完全相同的概率。

4. 对第 2 问的交换过程，各状态概率的极限与初始状态无关，且

   $$\lim_{n\to\infty}p_i(n)=a_i \quad(i=1,2,3),\qquad \sum_{i=1}^3a_i=1.$$

   利用这一性质，求交换无限多次后盒 B 中只有红球的概率。

Kai

1) 条件付き確率

A 箱から移した球を $T$ 、その後 B 箱から取り出した球を $D$ と書き、それぞれの色を添字で表す。

移した球が赤で、その後に赤を取り出す確率は

$$P(T_R\cap D_R)=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{15}.$$

移した球が白の場合も含めると、

$$\begin{aligned} P(D_R) &=P(T_R\cap D_R)+P(T_W\cap D_R)\\ &=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3} +\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}\\ &=\frac{7}{15}. \end{aligned}$$

したがって、ベイズの公式より

$$P(T_R\mid D_R) =\frac{P(T_R\cap D_R)}{P(D_R)} =\frac{4}{7}.$$

2) 推移確率行列

B 箱の白球数を $w\in\{0,1,2\}$ とする。このとき、B 箱には白球が $w$ 個、赤球が $2-w$ 個あり、A 箱には白球が $4-w$ 個、赤球が $1+w$ 個ある。

白球数が 1 減る確率と 1 増える確率は、それぞれ

$$\begin{aligned} P(w\to w-1)&=\frac{w}{2}\frac{1+w}{5},\\ P(w\to w+1)&=\frac{2-w}{2}\frac{4-w}{5}. \end{aligned}$$

残りが $P(w\to w)$ である。状態 1、2、3 がそれぞれ $w=0,1,2$ に対応するので、

$$P= \begin{pmatrix} \frac{1}{5}&\frac{4}{5}&0\\ \frac{1}{5}&\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\ 0&\frac{3}{5}&\frac{2}{5} \end{pmatrix}.$$

3) 2 回後に初期状態へ戻る確率

初期状態は状態 2 なので、

$$p(0)= \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}.$$

2 回後に状態 2 にいる確率は、途中の三つの状態について足し合わせて

$$\begin{aligned} P_{21}P_{12}+P_{22}P_{22}+P_{23}P_{32} &=\frac{1}{5}\frac{4}{5} +\frac{1}{2}\frac{1}{2} +\frac{3}{10}\frac{3}{5}\\ &=\frac{59}{100}. \end{aligned}$$

したがって、求める確率は $59/100$ である。

4) 極限分布

$a=(a_1,a_2,a_3)^t$ とおく。極限分布は

$$P^ta=a, \qquad a_1+a_2+a_3=1$$

を満たす。第 1 成分と第 3 成分の式から

$$\begin{aligned} \frac{1}{5}a_1+\frac{1}{5}a_2&=a_1,\\ \frac{3}{10}a_2+\frac{2}{5}a_3&=a_3 \end{aligned}$$

を得るので、 $a_2=4a_1$ 、 $a_3=2a_1$ である。正規化条件を使えば

$$(a_1,a_2,a_3) =\left(\frac{1}{7},\frac{4}{7},\frac{2}{7}\right).$$

B 箱が赤球だけになるのは状態 1 であるから、無限回交換したときの確率は

$$a_1=\frac{1}{7}.$$