東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2016年8月実施 概率统计

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) 1本の鍵で開けることのできる1台のロッカーがある. ある人が10本の鍵を持っており、そのうちこのロッカーを開けられる鍵が2本含まれている. この人はロッカーを開けるまで任意に1本ずつ鍵を取ってロッカーを開けられるかどうかを試行する. 1回の試行で失敗したら, 試行された鍵を次の試行から排除する.

1. $n-1$ 回目までの試行が失敗であったとき, $n$ 回目の試行でロッカーが開く条件付き確率を求めよ. ただし, $2 \leq n \leq 9$ とする.

2. 5回までの試行で, ロッカーが開く確率を求めよ.

题目描述

有一个储物柜，可由一把合适的钥匙打开。某人持有 10 把钥匙，其中有 2 把能够打开该柜。他每次任意取一把钥匙尝试开柜，直到柜子打开为止；若某次尝试失败，则从后续尝试中排除该钥匙。

1. 已知前 $n-1$ 次尝试均失败，求第 $n$ 次尝试打开柜子的条件概率，其中 $2\leq n\leq9$。
2. 求在前 5 次尝试之内（含第 5 次）打开柜子的概率。

Kai

1. $n-1$ 回目まで失敗しているということは、 $10 - (n-1) = 11 - n$ 本の鍵の中から2本が当たりくじなので、求める確率は

$$P = \frac{2}{11-n}$$

2. 5回までの試行でロッカーが開く確率を求める. これは、1回目から5回目までのどこかでロッカーが開けば良いということである. この確率を直接求めるよりも、5回まで開かない確率を求めて、1から引いた方が計算が楽である. 5回まで開かない確率は、

$$\frac{8}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6} = \frac{5 \times 4}{10 \times 9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$$

よって、求める確率は

$$1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$