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東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2016年8月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

実数aとbを含む以下のような3行3列の行列Aがある.

A=(a−b2b2b21+a21−a2−b21−a21+a2)A = \begin{pmatrix} a & -\frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{b}{\sqrt{2}} \\ \frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{1+a}{2} & \frac{1-a}{2} \\ -\frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{1-a}{2} & \frac{1+a}{2} \end{pmatrix}

任意の位置ベクトル p=(xyz)p = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} をAにより p′=(x′y′z′)=App' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = Ap に一次変換させるとき, ∣p∣=∣p′∣|p|=|p'| が成り立っている. 以下の4つの設問全てに解答せよ.

(1) AtA=EA^t A = E であることを示せ. また, a2+b2=1a^2+b^2=1 が成り立つことを示せ. ただし, AtA^t はAの転置行列, Eは3行3列の単位行列である.

(2) Aの固有値がただ一つだけ存在することを示すと共に, その固有値と固有ベクトルを求めよ.

(3) p=(010)p = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} として, 問(1)の関係を満たしながらaとbが変化するとき, p′=(x′y′z′)p' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} の軌跡はある平面に含まれる. この平面を表す式を求めよ. また, x'とy'の関係をxy 平面上に図示せよ.

(4) 問(3)で求めた軌跡上を動く 3 点をそれぞれ u=(u1u2u3)u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} , v=(v1v2v3)v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} および w=(w1w2w3)w=\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} とおく. このとき, 行列式 det⁡(u1v1w1u2v2w2u3v3w3)\det \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} の最大値を求めよ.

题目描述​

设 a,ba,b 为实数，并定义三阶实矩阵

A=(a−b2b2b21+a21−a2−b21−a21+a2).A=\begin{pmatrix} a&-\dfrac{b}{\sqrt2}&\dfrac{b}{\sqrt2}\\ \dfrac{b}{\sqrt2}&\dfrac{1+a}{2}&\dfrac{1-a}{2}\\ -\dfrac{b}{\sqrt2}&\dfrac{1-a}{2}&\dfrac{1+a}{2} \end{pmatrix}.

对任意位置向量

p=(xyz),p′=(x′y′z′)=Ap,p=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \qquad p'=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=Ap,

已知线性变换保持长度，即 ∣p∣=∣p′∣|p|=|p'|。回答以下四问：

  1. 证明 AtA=EA^tA=E，并证明 a2+b2=1a^2+b^2=1，其中 AtA^t 为 AA 的转置矩阵，EE 为三阶单位矩阵。

  2. 证明 AA 只有一个特征值，并求该特征值及其特征向量。

  3. 取

    p=(010).p=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}.

    当 a,ba,b 在满足第 1 问关系的条件下变化时，p′=(x′,y′,z′)tp'=(x',y',z')^t 的轨迹包含在某一平面内。求该平面的方程，并在 x′y′x'y' 平面上画出 x′x' 与 y′y' 的关系。

  4. 在第 3 问所得轨迹上任取三个动点

    u=(u1u2u3),v=(v1v2v3),w=(w1w2w3).u=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix}.

    求行列式

    det⁡(u1v1w1u2v2w2u3v3w3)\det\begin{pmatrix} u_1&v_1&w_1\\ u_2&v_2&w_2\\ u_3&v_3&w_3 \end{pmatrix}

    的最大值。

Kai​

(1) 任意の p∈R3p\in\mathbb R^3 に対して ∣Ap∣=∣p∣|Ap|=|p| なので，

pT(ATA−I)p=0p^T(A^TA-I)p=0

がすべての pp について成り立つ。 ATA−IA^TA-I は実対称行列であるから， これは ATA−I=0A^TA-I=0 ，すなわち

ATA=I\boxed{A^TA=I}

を意味する。直接計算しても

ATA=(a2+b2000a2+b2+121−a2−b2201−a2−b22a2+b2+12).A^TA= \begin{pmatrix} a^2+b^2&0&0\\ 0&\frac{a^2+b^2+1}{2}&\frac{1-a^2-b^2}{2}\\ 0&\frac{1-a^2-b^2}{2}&\frac{a^2+b^2+1}{2} \end{pmatrix}.

したがって第 (1,1)(1,1) 成分から

a2+b2=1\boxed{a^2+b^2=1}

を得る。この関係を上式に代入すれば，確かに ATA=IA^TA=I となる。

(2) Aの固有値と固有ベクトルを求める。

det⁡(λI−A)=(λ−1)(λ2−2aλ+1)=(λ−1)((λ−a)2+b2),\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)(\lambda^2-2a\lambda+1) =(\lambda-1)\bigl((\lambda-a)^2+b^2\bigr),

ここで a2+b2=1a^2+b^2=1 を用いた。したがって λ=1\lambda=1 は常に実固有値であり，

A(011)=(011).A\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.

よって通常の場合の固有空間は

ker⁡(A−I)=span⁡{(011)}.\ker(A-I)=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \right\}.

b≠0b\neq0 なら二次因子は実根を持たないので，実固有値は 11 だけである。 複素数体上では残りの固有値は a±iba\pm ib である。

なお，境界の場合には注意が必要である。 (a,b)=(1,0)(a,b)=(1,0) なら A=IA=I で， 固有値は 11 のみ，固有空間は R3\mathbb R^3 である。 一方 (a,b)=(−1,0)(a,b)=(-1,0) なら実固有値は 1,−11,-1 の2つとなるため， 「実固有値がただ一つ」という主張にはこの例外がある。このとき

ker⁡(A−I)=span⁡{(011)},ker⁡(A+I)=span⁡{(100),(01−1)}.\ker(A-I)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}, \qquad \ker(A+I)=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \right\}.

(3) p′=Ap=(a−b2b2b21+a21−a2−b21−a21+a2)(010)=(−b21+a21−a2)=(x′y′z′)p' = Ap = \begin{pmatrix} a & -\frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{b}{\sqrt{2}} \\ \frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{1+a}{2} & \frac{1-a}{2} \\ -\frac{b}{\sqrt{2}} & \frac{1-a}{2} & \frac{1+a}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{b}{\sqrt{2}} \\ \frac{1+a}{2} \\ \frac{1-a}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} 。 a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 を利用する。 x′=−b2x' = -\frac{b}{\sqrt{2}} , y′=1+a2y' = \frac{1+a}{2} , z′=1−a2z' = \frac{1-a}{2} 。よって、 b=−2x′b = -\sqrt{2}x' , a=2y′−1a = 2y' - 1 , a=1−2z′a = 1-2z' . a=y′−z′a = y'-z' 、 a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 より、 (2y′−1)2+2x′2=1(2y'-1)^2 + 2x'^2 = 1 , 2x′2+4y′2−4y′+1=12x'^2 + 4y'^2 - 4y' + 1 = 1 , 2x′2+4y′2−4y′=02x'^2 + 4y'^2 - 4y' = 0 , x′2+2y′2−2y′=0x'^2 + 2y'^2 - 2y' = 0 , x′2+2(y′2−y′)=0x'^2 + 2(y'^2 - y') = 0 , x′2+2(y′2−y′+14)=12x'^2 + 2(y'^2 - y' + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} , x′2+2(y′−12)2=12x'^2 + 2(y'-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} , x′212+(y′−12)214=1\frac{x'^2}{\frac{1}{2}} + \frac{(y'-\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{4}} = 1 。 平面を表す式は， z′=1−a2z' = \frac{1-a}{2} より a=1−2z′a = 1 - 2z' 。 y′=1+a2y' = \frac{1+a}{2} に代入して、 y′=1+1−2z′2y' = \frac{1 + 1 - 2z'}{2} 。 y′=1−z′y' = 1 - z' . よって、 y′+z′=1y' + z' = 1 。 したがって x′y′x'y' 平面上では，中心 (0,12)(0,\frac12) ，半軸 12\frac1{\sqrt2} と 12\frac12 の楕円

x′21/2+(y′−1/2)21/4=1\boxed{\frac{x'^2}{1/2}+\frac{(y'-1/2)^2}{1/4}=1}

として図示される。これは z′=0z'=0 と置くことではなく，軌跡を x′y′x'y' 平面へ射影して得られる関係である。

(4) 軌跡は単位球面と平面 y′+z′=1y'+z'=1 の交線であり，中心 c=(0,12,12)Tc=(0,\frac12,\frac12)^T ，半径 1/21/\sqrt2 の円である。 この平面と原点との距離も 1/21/\sqrt2 である。

軌跡上の3点 u,v,wu,v,w が作る三角形の面積を SS とすると，

∣det⁡(u,v,w)∣=2S⋅12.|\det(u,v,w)|=2S\cdot\frac1{\sqrt2}.

半径 1/21/\sqrt2 の円に内接する三角形の面積は正三角形のとき最大で，

Smax⁡=334(12)2=338.S_{\max}=\frac{3\sqrt3}{4}\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2 =\frac{3\sqrt3}{8}.

列の順序を適切に選べば行列式を正にできるので，

max⁡det⁡(u,v,w)=368.\boxed{\max\det(u,v,w)=\frac{3\sqrt6}{8}}.

例えば (a,b)(a,b) を単位円上で角度 0,2π3,4π30,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3} に対応させた3点でこの値をとる。

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