東京大学新領域創成科学研究科人間環境学専攻 2016年8月実施微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

1階線形微分方程式について以下の問に答えよ。

\frac{dy}{dx} + g(x)y = h(x)

において、1つの特殊解 $y_1(x)$ を知れば、一般解は

y(x) = y_1(x) + A\exp(-\int g(x)dx)

で求められることを証明せよ。ただし、 $A$ は任意定数である。

\frac{dy}{dx} = 1 + x + y \qquad (2)

の一般解を求めよ。ただし、 $y(0) = c$ ( $c$ は任意定数)であり、この微分方程式の1つの特殊解は $y_1(x) = -(x+2)$ である。

$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ( $a_n$ は定数) とおいて式(2)の一般解を求め、得られた解が問2)の結果と一致することを示せ。

回答下列关于一阶线性微分方程的问题。

对线性微分方程

$\frac{dy}{dx}+g(x)y=h(x),$

证明：若已知一个特解 $y_1(x)$ ，则其一般解为

$y(x)=y_1(x)+A\exp\left(-\int g(x)\,dx\right),$

其中 $A$ 为任意常数。
利用第 1 问的方法，求微分方程

$\frac{dy}{dx}=1+x+y \tag{2}$

在初始条件 $y(0)=c$ 下的一般解，其中 $c$ 为任意常数；已知式 (2) 的一个特解为 $y_1(x)=-(x+2)$ 。
令

$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,$

其中 $a_n$ 为常数，用幂级数法求式 (2) 的一般解，并证明所得结果与第 2 问一致。

既知の特殊解 $y_1$ と任意の解 $y$ の差を $z=y-y_1$ とおく。両者が同じ非同次方程式を満たすので、差を取れば

z'+g(x)z=0.

したがって

\frac{z'}{z}=-g(x),\qquad z=A\exp\left(-\int g(x)\,dx\right).

ゆえに

\boxed{y(x)=y_1(x)+A\exp\left(-\int g(x)\,dx\right)}.

積分定数の違いは任意定数 $A$ に吸収される。

式 (2) は

y'-y=1+x

であり、 $g(x)=-1$ 、特殊解は $y_1=-(x+2)$ である。問1より

y=-(x+2)+Ae^x.

初期条件 $y(0)=c$ から $c=-2+A$ 、すなわち $A=c+2$ である。よって

\boxed{y(x)=-(x+2)+(c+2)e^x}.

y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\qquad y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n

を $y'=1+x+y$ に代入し、係数を比較すると

a_1=1+a_0,\qquad 2a_2=1+a_1,\qquad (n+1)a_{n+1}=a_n\quad(n\ge2).

$a_0=y(0)=c$ なので

a_1=c+1,\qquad a_n=\frac{c+2}{n!}\quad(n\ge2).

したがって

\begin{aligned} y(x) &=c+(c+1)x+(c+2)\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\ &=c+(c+1)x+(c+2)(e^x-1-x)\\ &=\boxed{-(x+2)+(c+2)e^x}, \end{aligned}

となり、問2の解と一致する。