東京大学 新領域創成科学研究科 人間環境学専攻 2016年8月実施 微分方程

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) 直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, \theta)$ へ変換することによって, 微分方程式

$$\left[(x^2 + y^2 - a)x - y\right] \frac{dy}{dx} = (x^2 + y^2 - a)y + x \quad (1)$$

を解くことを考える。ただし、 $a$ は正定数とする。

1. $x = r\cos\theta$ と $y = r\sin\theta$ の関係を利用して, $xdx + ydy$ 及び $xdy - ydx$ を $r$ と $\theta$ で表せ。

2. 問1)の結果を用いて, 式(1)を極座標で表した微分方程式 $\frac{dr}{d\theta} = f(r, \theta)$ に変換せよ。

3. 問2)で得られた微分方程式の一般解 $r(\theta)$ を求め, 式(1)の一般解を求めよ。

题目描述

设 $a$ 为正常数。考虑通过把直角坐标 $(x,y)$ 变换为极坐标 $(r,\theta)$，求解微分方程

$$\left[(x^2+y^2-a)x-y\right]\frac{dy}{dx} =(x^2+y^2-a)y+x. \tag{1}$$

利用 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，回答下列问题：

1. 用 $r,\theta$ 表示微分形式 $x\,dx+y\,dy$ 与 $x\,dy-y\,dx$。

2. 利用第 1 问的结果，把式 (1) 化为极坐标下形如

   $$\frac{dr}{d\theta}=f(r,\theta)$$

   的微分方程。

3. 求第 2 问所得方程的一般解 $r(\theta)$，进而给出式 (1) 的一般解。

Kai

(1)

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を微分すると

$$dx=\cos\theta\,dr-r\sin\theta\,d\theta,\qquad dy=\sin\theta\,dr+r\cos\theta\,d\theta.$$

したがって

$$\boxed{x\,dx+y\,dy=r\,dr},\qquad \boxed{x\,dy-y\,dx=r^2\,d\theta}.$$

(2)

式 (1) に $dx$ を掛けて一方の辺に移すと

$$(x^2+y^2-a)(x\,dy-y\,dx)-(x\,dx+y\,dy)=0.$$

問1の結果と $x^2+y^2=r^2$ を用いれば

$$(r^2-a)r^2\,d\theta-r\,dr=0.$$

よって $r>0$ の範囲では

$$\boxed{\frac{dr}{d\theta}=r(r^2-a)}.$$

(3)

$r\ne0$ かつ $r^2\ne a$ の区間で変数分離すると

$$\int\frac{dr}{r(r^2-a)}=\int d\theta.$$

左辺は

$$-\frac1a\log r+\frac{1}{2a}\log|r^2-a|$$

であるから、定数をまとめて

$$\log\left|\frac{r^2-a}{r^2}\right|=2a\theta+C_1.$$

符号も任意定数に含めれば

$$1-\frac{a}{r^2}=Ce^{2a\theta},\qquad \boxed{r(\theta)=\sqrt{\frac{a}{1-Ce^{2a\theta}}}}$$

となる（分母が正である各区間で考える）。 $C=0$ は定常解 $r=\sqrt a$ も含む。

したがって、角度 $\theta=\operatorname{atan2}(y,x)$ の枝を一つ固定した局所表示では、式 (1) の一般解は

$$\boxed{1-\frac{a}{x^2+y^2}=C\exp\!\left(2a\,\operatorname{atan2}(y,x)\right)}.$$

極座標の $r=0$ は原点一個を表し、通常の関数 $y(x)$ としての積分曲線ではない。また原点では元の方程式の両係数がともに 0 となり、接線方向は方程式から定まらない。