東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2025年8月実施 専門基礎科目 2.2 確率・統計

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。$e$ は自然対数の底である。

問1

$1$ から $n$ までの数値が一つずつ書かれた $n$ 枚のカードをよく切って、裏向きに並べる。プレーヤー A と B が交互に一枚ずつ無作為にカードをめくり、A が先攻とする。数値 $1$ のカードが出た時点でゲームを終了し、そのカードをめくったプレーヤーを勝者とする。めくったカードは裏向きに戻さない。(1),(3) は答えのみ、(2) は導出の過程も示せ。

(1) $n=3,4,5$ のそれぞれについて、A が勝利する確率を求めよ。

(2) A が勝利する確率を $n$ を用いて表せ。

(3) 勝利した場合のカードの数値の合計を得点とする。$n=4$ のとき、A の得点の期待値と分散を求めよ。例えば A が $2$、B が $3$、A が $1$ の順に引いた場合、A の得点は $2+1=3$ である。

問2

コールセンターにおいて、測定時間 $t$ の間に着信した電話の件数 $A(t)$ は、期待値 $\lambda t$ のポアソン分布

$$\Pr[A(t)=n]=\frac{(\lambda t)^ne^{-\lambda t}}{n!},\qquad n=0,1,2,\ldots$$

に従う。$\lambda>0$ は実定数である。測定開始から一回目、二回目の電話が来るまでの時間をそれぞれ $T_1,T_2$ とする。(1),(2),(4) は答えのみ、(3),(5) は導出の過程も示せ。

(1) $\Pr[A(t)=0]$ を $\lambda,t$ を用いて表せ。

(2) $\Pr[T_1>t]$ を $\lambda,t$ を用いて表せ。

(3) $T_1$ の確率密度 $f_1(t)$ を導出せよ。

(4) $T_1$ の期待値を求めよ。

(5) $T_2$ の確率密度 $f_2(t)$ を導出せよ。

题目描述

$e$ 为自然对数的底。

问1　将分别标有 $1,\ldots,n$ 的 $n$ 张牌洗匀后背面朝上排列。A、B 交替随机翻一张牌，A 先手。翻出 $1$ 时游戏结束，翻出该牌者获胜，已翻开的牌不再放回。

(1) 分别求 $n=3,4,5$ 时 A 的胜率；(2) 用 $n$ 表示 A 的胜率，并写出推导；(3) 胜者所翻牌面数字的总和为其得分。当 $n=4$ 时求 A 得分的期望和方差。例如 A 翻出 $2$、B 翻出 $3$、A 翻出 $1$，则 A 得分为 $3$。(1),(3) 只写答案。

问2　设呼叫中心在测量时间 $t$ 内收到的电话数 $A(t)$ 服从均值为 $\lambda t$ 的 Poisson 分布：

$$\Pr[A(t)=n]=\frac{(\lambda t)^ne^{-\lambda t}}{n!},\quad n=0,1,2,\ldots,\quad\lambda>0.$$

从测量开始至第一、第二通电话到来所需时间分别为 $T_1,T_2$。(1) 求 $\Pr[A(t)=0]$；(2) 求 $\Pr[T_1>t]$；(3) 推导 $T_1$ 的密度 $f_1$；(4) 求 $E[T_1]$；(5) 推导 $T_2$ 的密度 $f_2$。(1),(2),(4) 只写答案，(3),(5) 须写出推导。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad n=3:\frac23,\qquad n=4:\frac12,\qquad n=5:\frac35.$$

(2) 数値 $1$ のカードが現れる順番は $1,\ldots,n$ に一様であり、A が勝つのは奇数番目に現れる場合である。したがって

$$\boxed{\Pr(\mathrm A\text{ が勝つ})=\frac{\lceil n/2\rceil}{n} =\begin{cases}\frac12,&n\text{ が偶数},\\\frac{n+1}{2n},&n\text{ が奇数}.\end{cases}}$$

(3) 敗者の得点を $0$ とすると、A の得点 $S$ について

$$\boxed{E[S]=\frac54,\qquad V[S]=\frac{137}{48}}.$$

問2

以下、$t\ge0$ とする。

$$\text{(1)}\quad\Pr[A(t)=0]=e^{-\lambda t},\qquad \text{(2)}\quad\Pr[T_1>t]=e^{-\lambda t}.$$

(3) $F_1(t)=\Pr[T_1\le t]=1-\Pr[A(t)=0]=1-e^{-\lambda t}$ なので

$$f_1(t)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda t},&t\ge0,\\0,&t<0.\end{cases}$$

$$\text{(4)}\quad E[T_1]=\frac1\lambda.$$

(5) 二回目の到着がまだないことと $A(t)\le1$ は同値である。よって

$$F_2(t)=1-\Pr[A(t)=0]-\Pr[A(t)=1] =1-(1+\lambda t)e^{-\lambda t}.$$

これを微分して

$$f_2(t)=\begin{cases}\lambda^2te^{-\lambda t},&t\ge0,\\0,&t<0.\end{cases}$$