東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2025年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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• 东京大学
• 含参数矩阵的特征值与秩
• 正定矩阵
• 二次型
• 特征值与特征向量

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。問3(4) 以外は、導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

実数 $a$ に対して

$$A=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}$$

とする。(1) $\det A$ を $a$ を用いて表せ。(2) $\operatorname{rank}A=2$ となる $a$ を求めよ。

問2

実数 $b$ に対して

$$B=\begin{pmatrix}3&b&1\\b&3&1\\1&1&4\end{pmatrix}$$

とする。

(1) $B$ が正定値行列（すべての固有値が正の実数）となるための $b$ の条件を示せ。

以下、$b=0$ とする。

(2) $B$ のすべての固有値と対応する固有ベクトルを求めよ。

(3) $\boldsymbol q^{\mathsf T}=(-6,6,0)$ とする。$\mathsf T$ は転置を表す。$\boldsymbol x^{\mathsf T}B\boldsymbol x+\boldsymbol q^{\mathsf T}\boldsymbol x$ の最小値と、それを与える実ベクトル $\boldsymbol x$ を求めよ。

問3

巡回行列 $C$ とベクトル $\boldsymbol p_m$ を

$$C=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol p_m=\begin{pmatrix}1\\\omega^m\\\omega^{2m}\\\omega^{3m}\end{pmatrix},\qquad \omega=e^{-2\pi i/4}$$

とする。$m$ は整数、$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。

(1) $\omega^{4m}$ を求めよ。

(2) 複素数 $\lambda$ に対して $C\boldsymbol p_m=\lambda\boldsymbol p_m$ とする。$\lambda$ を $\omega,m$ を用いて表せ。

(3) $C$ のすべての固有値と対応する固有ベクトルを $1,-1,i,-i$ のみを用いて表せ。

(4) 次の $5\times5$ 巡回行列 $D$ のすべての固有値は $\alpha\cos\beta$ の形で表せる。$\alpha,\beta$ を求め、導出の過程も示せ。

$$D=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&1\\1&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0 \end{pmatrix}.$$

题目描述

除问3(4) 外均省略推导，只写答案。

问1　对实数 $a$ 定义 $A=\begin{pmatrix}1&a&1\\a&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}$。(1) 用 $a$ 表示 $\det A$；(2) 求使 $\operatorname{rank}A=2$ 的 $a$。

问2　对实数 $b$ 定义 $B=\begin{pmatrix}3&b&1\\b&3&1\\1&1&4\end{pmatrix}$。(1) 求使 $B$ 正定，即所有特征值为正实数的 $b$ 的条件。以下令 $b=0$。(2) 求所有特征值及对应的特征向量；(3) 令 $\boldsymbol q^{\mathsf T}=(-6,6,0)$，求 $\boldsymbol x^{\mathsf T}B\boldsymbol x+\boldsymbol q^{\mathsf T}\boldsymbol x$ 的最小值及达到该值的实向量 $\boldsymbol x$，$\mathsf T$ 表示转置。

问3　定义

$$C=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol p_m=(1,\omega^m,\omega^{2m},\omega^{3m})^{\mathsf T},\quad \omega=e^{-2\pi i/4},\quad m\in\mathbb Z.$$

$e$ 为自然对数的底，$i$ 为虚数单位。

(1) 求 $\omega^{4m}$；(2) 若 $C\boldsymbol p_m=\lambda\boldsymbol p_m$，将 $\lambda$ 用 $\omega,m$ 表示；(3) 仅使用 $1,-1,i,-i$ 表示 $C$ 的所有特征值及相应特征向量；(4) 矩阵

$$D=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1\\1&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0\end{pmatrix}$$

的所有特征值均可表示为 $\alpha\cos\beta$，求 $\alpha,\beta$ 并写出推导。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad\det A=-(a-1)^2(a+2),\qquad \text{(2)}\quad a=-2.$$

問2

$$\text{(1)}\quad-\frac52<b<3.$$

(2) 対応する固有空間は次のとおりである。固有ベクトルは各空間の零でないベクトルである。

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有空間}\\\hline 2&\operatorname{span}\{(1,1,-1)^{\mathsf T}\}\\ 3&\operatorname{span}\{(1,-1,0)^{\mathsf T}\}\\ 5&\operatorname{span}\{(1,1,2)^{\mathsf T}\} \end{array}$$

$$\text{(3)}\quad\min=-6,\qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}.$$

問3

$$\text{(1)}\quad\omega^{4m}=1,\qquad \text{(2)}\quad\lambda=\omega^{-m}=\omega^{3m}.$$

(3) 各固有値に対する固有ベクトルの一例は

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有ベクトル}\\\hline 1&(1,1,1,1)^{\mathsf T}\\ i&(1,-i,-1,i)^{\mathsf T}\\ -1&(1,-1,1,-1)^{\mathsf T}\\ -i&(1,i,-1,-i)^{\mathsf T} \end{array}$$

である。

(4) $\zeta=e^{2\pi i/5}$ とし、$\boldsymbol v_k=(1,\zeta^k,\zeta^{2k},\zeta^{3k},\zeta^{4k})^{\mathsf T}$ とおく。添字を巡回させれば、隣接する成分の和から

$$D\boldsymbol v_k=(\zeta^k+\zeta^{-k})\boldsymbol v_k =2\cos\frac{2\pi k}{5}\,\boldsymbol v_k.$$

$\boldsymbol v_0,\ldots,\boldsymbol v_4$ は互いに直交する零でないベクトルなので、これで全固有値を得る。したがって

$$\boxed{\alpha=2,\qquad\beta=\frac{2\pi k}{5}\quad(k=0,1,2,3,4)}.$$