東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2025年8月実施 専門基礎科目 1 微分積分

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• 二阶线性常微分方程

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。$e$ は自然対数の底である。問1、問3、問4は導出を省略して答えのみ示せ。問2、問5は答えに加えて導出の過程も示せ。

問1

(1) $f(x)=e^x\cos x$ の四次の導関数を求めよ。

(2) $f(x)=e^x\cos x$ を $x=0$ のまわりで四次の項までテイラー展開せよ。

(3) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x\cos x-1}{\tan x}$ を求めよ。

問2

$f(x)=x-\sin x$ とする。実数 $x\ge0$ に対して $f(x)\ge0$ であることを証明せよ。

問3

実関数 $f(t)$ が満たす微分方程式

$$\frac{d^2f}{dt^2}+\frac{df}{dt}+\sin t=0$$

の一般解を求めよ。また、初期値 $f(0)=2,f'(0)=0$ に対する特解を求めよ。

問4

実関数 $f(x,y)=\exp(-(x^2+y^2)/2)$ を定義する。$\exp(t)=e^t$ である。

(1) $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\ (r\ge0,\ 0\le\theta<2\pi)$ で定義される変数変換のヤコビ行列とその行列式を求めよ。

(2) $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy$ を求めよ。

問5

自然数 $N$ に対して

$$T_N^+=\sum_{j=1}^N\frac j{N^2}\log_e\left(1+\frac jN\right),\qquad T_N^-=\sum_{j=1}^N\frac{j-1}{N^2}\log_e\left(1+\frac{j-1}N\right)$$

と定義する。

(1) $\lim_{N\to\infty}(T_N^+-T_N^-)=0$ を証明せよ。

(2) 任意の自然数 $N$ に対して $T_N^-<\int_0^1 f(x)\,dx<T_N^+$ となる実関数 $f$ を考えることで、$\lim_{N\to\infty}T_N^+$ を求めよ。導出の過程も示せ。

题目描述

$e$ 为自然对数的底。问1、问3、问4只写答案；问2、问5还須写出推导。

问1　(1) 求 $f(x)=e^x\cos x$ 的四阶导数；(2) 将该函数在 $x=0$ 处展开至四次项；(3) 求 $\lim_{x\to0}(e^x\cos x-1)/\tan x$。

问2　设 $f(x)=x-\sin x$，证明对所有实数 $x\ge0$，都有 $f(x)\ge0$。

问3　求 $f''(t)+f'(t)+\sin t=0$ 的一般解，以及满足 $f(0)=2,f'(0)=0$ 的特解。

问4　设 $f(x,y)=\exp(-(x^2+y^2)/2)$，$\exp(t)=e^t$。(1) 求变换 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$（$r\ge0,0\le\theta<2\pi$）的 Jacobian 矩阵和行列式；(2) 求 $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy$。

问5　对自然数 $N$ 定义

$$T_N^+=\sum_{j=1}^N\frac j{N^2}\log_e\left(1+\frac jN\right),\qquad T_N^-=\sum_{j=1}^N\frac{j-1}{N^2}\log_e\left(1+\frac{j-1}N\right).$$

(1) 证明 $T_N^+-T_N^-\to0$；(2) 选取对任意 $N$ 都满足 $T_N^-<\int_0^1f(x)\,dx<T_N^+$ 的实函数 $f$，由此求出 $\lim_{N\to\infty}T_N^+$ 并写出推导。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad f^{(4)}(x)=-4e^x\cos x.$$

$$\text{(2)}\quad e^x\cos x=1+x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}+O(x^5), \qquad\text{(3)}\quad1.$$

問2

$f'(x)=1-\cos x\ge0$ より、$f$ は単調非減少である。したがって $x\ge0$ なら $f(x)\ge f(0)=0$。

問3

一般解は

$$f(t)=C_1+C_2e^{-t}+\frac12(\sin t+\cos t),\qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$

指定された初期値に対する特解は

$$f(t)=1+\frac12e^{-t}+\frac12(\sin t+\cos t).$$

問4

$$\text{(1)}\quad J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}, \qquad\det J=r.$$

$$\text{(2)}\quad2\pi.$$

問5

(1) $h(x)=x\log(1+x)$ とおくと、和の差が望遠和となるため

$$T_N^+-T_N^-= \frac1N\sum_{j=1}^N\left[h\left(\frac jN\right)-h\left(\frac{j-1}N\right)\right] =\frac{h(1)-h(0)}N=\frac{\log2}N\longrightarrow0.$$

(2) $h$ は $[0,1]$ 上連続であり、$x>0$ では

$$h'(x)=\log(1+x)+\frac{x}{1+x}>0.$$

各小区間の左端・右端の値で積分を評価すれば $T_N^-<\int_0^1h(x)\,dx<T_N^+$ となる。(1) より

$$\begin{aligned} \lim_{N\to\infty}T_N^+ &=\int_0^1x\log(1+x)\,dx\\ &=\frac12\log2-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,dx\\ &=\frac12\log2-\frac12\left[\frac{x^2}{2}-x+\log(1+x)\right]_0^1 =\boxed{\frac14}. \end{aligned}$$