東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2024年8月実施 専門基礎科目 2.2 確率・統計

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• 东京大学
• 仿射变换下的协方差
• 柯西分布
• 稳定分布的求和尺度关系
• 一元线性回归

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

確率変数 $X,Y$ の平均は $\overline X=1,\overline Y=2$、分散は $s_X=1,s_Y=2$、共分散は $s_{XY}=-1$ とする。$U=X+3,V=X+Y$ と定義する。

(1) $U,V$ の平均 $\overline U,\overline V$ を求めよ。

(2) $U,V$ の分散 $s_U,s_V$ を求めよ。

(3) $U,V$ の共分散 $s_{UV}$ を求めよ。

問2

$X$ は標準コーシー分布 $p(x)=1/[\pi(1+x^2)]$ に従う。

(1) 累積分布関数 $F(x)$ を求めよ。

(2) $U$ は区間 $[0,1]$ の一様分布に従う。$\Pr(U\le F(x))$ を求めよ。

(3) (2) の $U$ に対して、$X=g(U)$ を満たす実関数 $g$ を求めよ。

(4) 標準コーシー分布の特性関数 $\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p(x)\,dx$ を求めよ。$t$ は実数とする。

(5) $X_1,\ldots,X_n$ は独立で同一の標準コーシー分布に従う。$Z=X_1+\cdots+X_n$ の確率密度を求めよ。

問3

確率変数 $X,Y$ の $N$ 個の標本の組 $(x_1,y_1),\ldots,(x_N,y_N)$ に対して

$$\overline x=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i,\quad \overline y=\frac1N\sum_{i=1}^Ny_i,\quad \sigma_{xx}=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_i^2,\quad \sigma_{xy}=\frac1N\sum_{i=1}^Nx_iy_i$$

と定義する。関数

$$l(A_0,A_1)=\sum_{i=1}^N(y_i-A_0-A_1x_i)^2$$

を最小化することで回帰直線 $Y=A_0+A_1X$ を求める。$l$ は $A_0=a_0,A_1=a_1$ で最小となるとする。$a_0,a_1$ を $\overline x,\overline y,\sigma_{xx},\sigma_{xy}$ を用いて表せ。また、両者がともに一意に定まる条件を示せ。

题目描述

$e$ 为自然对数的底，$i$ 为虚数单位。省略推导，只写答案。

问1　$X,Y$ 的均值分别为 $1,2$，方差分别为 $1,2$，协方差为 $-1$。设 $U=X+3,V=X+Y$。求 (1) $U,V$ 的均值；(2) $U,V$ 的方差；(3) $U,V$ 的协方差。

问2　$X$ 的密度为标准 Cauchy 密度 $p(x)=1/[\pi(1+x^2)]$。

(1) 求累积分布函数 $F(x)$；(2) 若 $U\sim\mathrm{Unif}[0,1]$，求 $\Pr(U\le F(x))$；(3) 求使 $X=g(U)$ 服从该分布的实函数 $g$；(4) 求特征函数 $\psi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p(x)\,dx$，$t\in\mathbb R$；(5) 若 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布且均服从标准 Cauchy 分布，求其和 $Z$ 的密度。

问3　给定 $N$ 对样本 $(x_i,y_i)$，定义

$$\overline x=\frac1N\sum x_i,\quad\overline y=\frac1N\sum y_i,\quad \sigma_{xx}=\frac1N\sum x_i^2,\quad\sigma_{xy}=\frac1N\sum x_iy_i.$$

最小化 $l(A_0,A_1)=\sum_{i=1}^N(y_i-A_0-A_1x_i)^2$ 得到回归直线 $Y=A_0+A_1X$。设最小值在 $(a_0,a_1)$ 取得。将 $a_0,a_1$ 用上述四个统计量表示，并给出两者均唯一的条件。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad\overline U=4,\quad\overline V=3;\qquad \text{(2)}\quad s_U=s_V=1;\qquad \text{(3)}\quad s_{UV}=0.$$

問2

$$\text{(1)}\quad F(x)=\frac12+\frac1\pi\arctan x.$$

$$\text{(2)}\quad\Pr(U\le F(x))=F(x)=\frac12+\frac1\pi\arctan x.$$

$$\text{(3)}\quad g(u)=\tan\left[\pi\left(u-\frac12\right)\right]\qquad(0<u<1).$$

$u=0,1$ での値は任意に定めてよい。

$$\text{(4)}\quad\psi(t)=e^{-|t|}\qquad(t\in\mathbb R).$$

$$\text{(5)}\quad f_Z(z)=\boxed{\frac n{\pi(n^2+z^2)}}\qquad(z\in\mathbb R).$$

問3

$\sigma_{xx}-\overline x^{\,2}>0$ のとき、

$$\boxed{ a_1=\frac{\sigma_{xy}-\overline x\,\overline y} {\sigma_{xx}-\overline x^{\,2}},\qquad a_0=\overline y-a_1\overline x }.$$

両者が一意に定まる必要十分条件は $\boxed{\sigma_{xx}-\overline x^{\,2}>0}$、すなわち $x_i$ がすべて同じ値ではないことである。すべて $x_i=\overline x$ なら、最小化する組は $a_0+a_1\overline x=\overline y$ を満たすすべての $(a_0,a_1)$ である。