東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2024年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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• 东京大学
• 对称矩阵的正交对角化
• 线性方程组的仿射解空间
• 矩阵指数
• 特征值与特征向量

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

行列とベクトルの転置を $\mathsf T$ で表す。正方行列 $J$ の指数関数は $e^J=\sum_{k=0}^\infty J^k/k!$ と定義される。以下の問に答えよ。

問1

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\\1\\\beta\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol c=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$$

とする。$\beta$ は実定数である。導出を省略し、答えのみ示せ。

(1) $A$ の固有値 $\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3$ を求めよ。

(2) $P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ を満たす行列 $P$ を求めよ。

(3) $\boldsymbol x\in\mathbb R^3$ に関する方程式 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ が解を持つとする。$\beta$ と、この方程式のすべての解を求めよ。

(4) 実数 $t$ に対して $\lim_{t\to\infty}e^{-At}\boldsymbol c$ を求めよ。

問2

$B$ を $n\times n$ の実非対称行列とする。

(1) $B$ と $B^{\mathsf T}$ の固有値が一致することを示せ。正方行列とその転置行列の行列式が一致することは既知としてよい。

(2) $B$ の固有値を $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$ とする。対応する $B,B^{\mathsf T}$ の固有ベクトルを $\boldsymbol u_i,\boldsymbol v_i$ とする。すなわち

$$B\boldsymbol u_i=\lambda_i\boldsymbol u_i,\qquad B^{\mathsf T}\boldsymbol v_i=\lambda_i\boldsymbol v_i$$

が成り立つ。$\lambda_i\ne\lambda_j$ ならば $\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i=0$ であることを示せ。

题目描述

用 $\mathsf T$ 表示转置，方阵指数定义为 $e^J=\sum_{k=0}^\infty J^k/k!$。

问1　设

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix},\quad \boldsymbol b=(1,1,\beta)^{\mathsf T},\quad \boldsymbol c=(3,2,1)^{\mathsf T},\quad\beta\in\mathbb R.$$

以下只写答案。(1) 求按 $\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3$ 排列的特征值；(2) 求满足 $P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ 的 $P$；(3) 已知 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 在 $\mathbb R^3$ 中有解，求 $\beta$ 和全部解；(4) 求 $\lim_{t\to\infty}e^{-At}\boldsymbol c$。

问2　$B$ 为 $n\times n$ 的非对称实矩阵。(1) 证明 $B$ 和 $B^{\mathsf T}$ 的特征值相同，可用转置不改变行列式的性质；(2) 设特征值为 $\lambda_i$，且 $B\boldsymbol u_i=\lambda_i\boldsymbol u_i$、$B^{\mathsf T}\boldsymbol v_i=\lambda_i\boldsymbol v_i$。证明当 $\lambda_i\ne\lambda_j$ 时，$\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i=0$。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad\lambda_1=0,\qquad\lambda_2=\lambda_3=3.$$

$$\text{(2)}\quad P=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&0&-\frac2{\sqrt6} \end{pmatrix}.$$

$$\text{(3)}\quad\beta=-2,\qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad c\in\mathbb R.$$

$$\text{(4)}\quad\lim_{t\to\infty}e^{-At}\boldsymbol c =\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}.$$

問2

(1) 任意の複素数 $\lambda$ に対して

$$\det(\lambda I-B^{\mathsf T}) =\det\bigl((\lambda I-B)^{\mathsf T}\bigr) =\det(\lambda I-B).$$

特性多項式が等しいので、代数的重複度を含めて固有値が一致する。

(2) 固有ベクトルの関係式から

$$\lambda_i\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i =\boldsymbol v_j^{\mathsf T}B\boldsymbol u_i =(B^{\mathsf T}\boldsymbol v_j)^{\mathsf T}\boldsymbol u_i =\lambda_j\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i.$$

よって $(\lambda_i-\lambda_j)\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i=0$。$\lambda_i\ne\lambda_j$ ならば $\boxed{\boldsymbol v_j^{\mathsf T}\boldsymbol u_i=0}$。