東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2024年8月実施 専門基礎科目 1 微分積分

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

実関数 $f(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ を定義する。

(1) $f(x)$ の導関数を求めよ。

(2) $f(x)$ の $x=0$ まわりの三次までのテイラー展開を求めよ。

問2

二つの実関数 $x(t),y(t)$ が

$$\frac{dx}{dt}=-\nu x-y+A\cos at,\qquad \frac{dy}{dt}=-\nu y+x+A\sin at$$

を満たす。$A,a,\nu$ は実定数であり、$\nu>0$ とする。

(1) $z(t)=x(t)+iy(t)$ とおくとき、$z(t)$ が満たす微分方程式を求めよ。

(2) $A=0$ のとき、$x(t),y(t)$ の連立微分方程式の一般解を求めよ。

(3) $A>0$ のとき、$t\to\infty$ で $x(t)$ は初期条件に関わらず $x_1(t)=B\cos(bt+\phi)$ に漸近する。$B>0,b,\phi$ は実定数である。$B,b,\phi$ を求めよ。

問3

実関数 $f(x)=xe^{-x}$ を定義する。

(1) $f(x)$ のすべての極値と、それに対応する $x$ を求めよ。

(2) $xy$ 直交座標系において、$0\le y\le f(x)$ かつ $x>0$ である領域の面積を求めよ。

(3) $xyz$ 直交座標系において、$xy$ 平面上で定義される (2) の領域を $x$ 軸のまわりに一回転させてできる立体の体積を求めよ。

(4) (3) の立体の表面は

$$g(x,y,z)=y^2+z^2-x^2e^{-2x}=0$$

と表される。$g$ の勾配ベクトルを求めよ。

(5) (3) の立体の表面の $x>0$ の領域において、$h(x,y,z)=xyz$ が最大となる座標 $(x,y,z)$ と、その最大値を求めよ。

题目描述

$e$ 为自然对数的底，$i$ 为虚数单位。省略推导，只写答案。

问1　$f(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$。(1) 求导数；(2) 求在 $x=0$ 处至三次项的 Taylor 展开。

问2　两个实函数满足

$$x'=-\nu x-y+A\cos at,\qquad y'=-\nu y+x+A\sin at,$$

其中 $A,a,\nu$ 为实常数，$\nu>0$。

(1) 令 $z=x+iy$，求 $z$ 满足的微分方程；(2) 当 $A=0$ 时求 $x,y$ 的一般解；(3) 当 $A>0$ 时，无论初始条件如何，$x(t)$ 在 $t\to\infty$ 时渐近于 $B\cos(bt+\phi)$，其中 $B>0,b,\phi$ 为实常数。求 $B,b,\phi$。

问3　$f(x)=xe^{-x}$。(1) 求全部极值及其对应的 $x$；(2) 求 $0\le y\le f(x),x>0$ 定义的平面区域面积；(3) 求该区域绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的体积；(4) 该立体表面写为 $g(x,y,z)=y^2+z^2-x^2e^{-2x}=0$，求 $g$ 的梯度；(5) 在该表面的 $x>0$ 部分，求使 $h(x,y,z)=xyz$ 最大的全部点及最大值。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad f'(x)=e^{-x^2},\qquad \text{(2)}\quad f(x)=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5).$$

問2

$$\text{(1)}\quad z'(t)=(-\nu+i)z(t)+Ae^{iat}.$$

$$\text{(2)}\quad \begin{cases} x(t)=e^{-\nu t}(C_1\cos t-C_2\sin t),\\ y(t)=e^{-\nu t}(C_1\sin t+C_2\cos t), \end{cases}\qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$

$$\text{(3)}\quad B=\frac A{\sqrt{\nu^2+(a-1)^2}},\qquad b=a,\qquad \phi=-\arctan\frac{a-1}{\nu}\pmod{2\pi}.$$

問3

$$\text{(1)}\quad x=1\text{ で極大値 }e^{-1}\text{。極小値はない。}$$

$$\text{(2)}\quad 1,\qquad\text{(3)}\quad\frac\pi4.$$

$$\text{(4)}\quad\nabla g=\bigl(2x(x-1)e^{-2x},\ 2y,\ 2z\bigr)^{\mathsf T}.$$

$$\text{(5)}\quad (x,y,z)=\left(\frac32,\ \frac{3\varepsilon}{2\sqrt2}e^{-3/2},\ \frac{3\varepsilon}{2\sqrt2}e^{-3/2}\right),\qquad\varepsilon=\pm1, \qquad\max h=\frac{27}{16e^3}.$$