東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。（40分）

問1

確率変数 $X$ は平均 $0$、分散 $1$ の正規分布に従う。$X=x$ が与えられたときの $Y$ の条件付き確率密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$ は、平均 $ax$、分散 $\sigma^2$ の正規分布の密度とする。$a$ は実数である。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(1) $X,Y$ の同時確率密度 $f_{X,Y}(x,y)$ を求めよ。

(2) $Y$ の確率密度 $f_Y(y)$ を求めよ。

(3) $Y=y$ が与えられたときの $X$ の条件付き確率密度 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ を求めよ。

問2

$n$ 個の確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ は互いに独立で、同一の平均 $0$、分散 $1$ の正規分布に従う。$d,u$ は実数、$c,\alpha$ は正の実数とする。(1),(2),(3),(5) は答えのみ、(4) は導出の過程も示せ。

(1) $Y=cX_1+d$ の確率密度 $f_Y(y)$ を求めよ。

(2) $Z=X_1^2$ の確率密度 $f_Z(z)$ を求めよ。

(3) $Z$ の期待値 $E[Z]$、分散 $V[Z]$、モーメント母関数 $M_Z(t)=E[e^{tZ}]$ を求めよ。$t<1/2$ とする。必要ならば

$$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi,\qquad \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u}\,du$$

を用いてよい。$e$ は自然対数の底である。

(4) $S=\sum_{i=1}^nX_i^2$ の確率密度がガンマ分布

$$f_S(s)=g_{k,\beta}(s)=\frac{\beta^k}{\Gamma(k)}s^{k-1}e^{-\beta s}\qquad(s\ge0)$$

であると仮定し、正の定数 $k,\beta$ を決定することにより $f_S(s)$ を求めよ。

(5) $W_1,\ldots,W_n$ は平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布からの無作為標本である。平均 $\mu$ は既知として、標本から分散の $95\%$ 信頼区間を計算する方法を説明せよ。

题目描述

问1　$X\sim N(0,1)$，给定 $X=x$ 时 $Y$ 的条件密度为均值 $ax$、方差 $\sigma^2$ 的正态密度，$a\in\mathbb R$。只写答案：(1) 求联合密度 $f_{X,Y}$；(2) 求边缘密度 $f_Y$；(3) 求 $Y=y$ 条件下的密度 $f_{X\mid Y}$。

问2　$X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布且均服从 $N(0,1)$。$d,u\in\mathbb R$，$c,\alpha>0$。(1),(2),(3),(5) 只写答案，(4) 还须写推导。（本卷40分钟）

(1) 求 $Y=cX_1+d$ 的密度；(2) 求 $Z=X_1^2$ 的密度；(3) 求 $E[Z],V[Z]$ 和 $M_Z(t)=E[e^{tZ}]$，其中 $t<1/2$。可使用 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ 及 $\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u}\,du$，$e$ 为自然对数的底。

(4) 假定 $S=\sum_{i=1}^nX_i^2$ 的密度为

$$f_S(s)=\frac{\beta^k}{\Gamma(k)}s^{k-1}e^{-\beta s}\quad(s\ge0),$$

通过确定正数 $k,\beta$ 求出该密度。

(5) $W_1,\ldots,W_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机样本。已知 $\mu$，说明如何由样本计算方差的 $95\%$ 置信区间。

Kai

問1

$\sigma>0$ とする。

$$\text{(1)}\quad f_{X,Y}(x,y)=\frac1{2\pi\sigma} \exp\left[-\frac{x^2}{2}-\frac{(y-ax)^2}{2\sigma^2}\right] \qquad(x,y\in\mathbb R).$$

$$\text{(2)}\quad f_Y(y)=\frac1{\sqrt{2\pi(a^2+\sigma^2)}} \exp\left[-\frac{y^2}{2(a^2+\sigma^2)}\right] \qquad(y\in\mathbb R).$$

$$\text{(3)}\quad f_{X\mid Y}(x\mid y) =\sqrt{\frac{a^2+\sigma^2}{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{a^2+\sigma^2}{2\sigma^2} \left(x-\frac{ay}{a^2+\sigma^2}\right)^2\right].$$

問2

$$\text{(1)}\quad f_Y(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}c} \exp\left[-\frac{(y-d)^2}{2c^2}\right]\qquad(y\in\mathbb R).$$

$$\text{(2)}\quad f_Z(z)=\begin{cases} \dfrac{e^{-z/2}}{\sqrt{2\pi z}},&z>0,\\ 0,&z<0. \end{cases}$$

$$\text{(3)}\quad E[Z]=1,\qquad V[Z]=2,\qquad M_Z(t)=(1-2t)^{-1/2}\quad(t<1/2).$$

(4) 独立性により $M_S(t)=(1-2t)^{-n/2}$。一方、ガンマ分布のモーメント母関数は

$$\frac{\beta^k}{\Gamma(k)}\int_0^\infty s^{k-1}e^{-(\beta-t)s}\,ds =\left(1-\frac t\beta\right)^{-k}.$$

したがって $k=n/2,\ \beta=1/2$ であり、

$$f_S(s)=\begin{cases} \dfrac{s^{n/2-1}e^{-s/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)},&s>0,\\ 0,&s<0. \end{cases}$$

(5) $q_p$ を自由度 $n$ の $\chi^2$ 分布の下側 $p$ 分位点とする。

$$\frac{\sum_{i=1}^n(W_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi_n^2$$

より、求める区間は

$$\boxed{\left[ \frac{\sum_{i=1}^n(W_i-\mu)^2}{q_{0.975}},\ \frac{\sum_{i=1}^n(W_i-\mu)^2}{q_{0.025}} \right]}.$$