東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年8月実施 専門基礎科目 3.1 解析学

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• Tokyo-University
• Laplace-Transform
• Volterra-Integral-Equation

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$n,m$ を非負整数、$a$ を正の実数、$t,\tau$ を実数とする。実関数 $f(t)$ のラプラス変換を

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$$

と定義する。$e$ は自然対数の底、$s$ は積分が収束する条件を満たす複素数である。単位ステップ関数を $u(t)=1\ (t\ge0),\ u(t)=0\ (t<0)$ と定義する。（40分）

問1

以下の $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ と、その存在条件を求めよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(1) $u(t-a)$、(2) $e^{at}u(t)$、(3) $\sin t\,u(t)$、(4) $t^nu(t)$。

問2

$t\ge0$ で定義される実関数 $g(t)$ のラプラス変換が

$$G(s)=\left(\frac{1-e^{-s}}s\right)^2$$

であるとき、$g(t)$ を求め、その概形を図示せよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問3

導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(1) $f(t),f'(t)$ が $t\ge0$ で定義されるとき、$f'(t)$ のラプラス変換を $s,F(s),f(0)$ を用いて表せ。ただし、$\lim_{t\to\infty}f(t)e^{-st}=0$ とする。

(2) $t\ge0$ で定義される実関数 $f(t)$ が

$$f'(t)-\int_0^t f(t-\tau)\cos\tau\,d\tau=-\sin t-e^{-t},\qquad f(0)=2$$

を満たす。(i) 両辺をラプラス変換し、$F(s)$ を求めよ。(ii) $f(t)$ を求めよ。

問4

次の $f(t)$ のラプラス変換を、導出の過程とともに求めよ。

$$f(t)=\begin{cases} 1,&2ma\le t<(2m+1)a,\\ -1,&(2m+1)a\le t<2(m+1)a, \end{cases}\qquad m=0,1,2,\ldots$$

题目描述

$n,m$ 为非负整数，$a>0$，$t,\tau$ 为实数。定义 $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$，其中 $e$ 为自然对数的底，复数 $s$ 满足积分的收敛条件。单位阶跃函数为 $u(t)=1\ (t\ge0)$、$u(t)=0\ (t<0)$。（40分钟）

问1　求 (1) $u(t-a)$、(2) $e^{at}u(t)$、(3) $\sin t\,u(t)$、(4) $t^nu(t)$ 的 Laplace 变换及存在条件，只写答案。

问2　$t\ge0$ 上的实函数 $g(t)$ 的变换为 $G(s)=((1-e^{-s})/s)^2$，求 $g(t)$ 并画出概形，只写答案。

问3　以下只写答案。(1) 若 $f,f'$ 定义在 $t\ge0$，且 $\lim_{t\to\infty}f(t)e^{-st}=0$，将 $f'$ 的变换用 $s,F(s),f(0)$ 表示。

(2) 实函数满足

$$f'(t)-\int_0^t f(t-\tau)\cos\tau\,d\tau=-\sin t-e^{-t},\qquad f(0)=2.$$

(i) 对两边作 Laplace 变换并求 $F(s)$；(ii) 求 $f(t)$。

问4　求以下函数的 Laplace 变换并写出推导：

$$f(t)=\begin{cases}1,&2ma\le t<(2m+1)a,\\-1,&(2m+1)a\le t<2(m+1)a,\end{cases} \quad m=0,1,2,\ldots$$

Kai

問1

$$\begin{array}{c|c|c} &F(s)&\text{存在条件}\\\hline (1)&e^{-as}/s&\operatorname{Re}s>0\\ (2)&1/(s-a)&\operatorname{Re}s>a\\ (3)&1/(s^2+1)&\operatorname{Re}s>0\\ (4)&n!/s^{n+1}&\operatorname{Re}s>0 \end{array}$$

問2

$$g(t)=\begin{cases} t,&0\le t\le1,\\ 2-t,&1<t\le2,\\ 0,&t>2. \end{cases}$$

問3

$$\text{(1)}\quad\mathcal L[f'](s)=sF(s)-f(0).$$

$$\text{(2)(i)}\quad sF(s)-2-\frac{s}{s^2+1}F(s) =-\frac1{s^2+1}-\frac1{s+1}, \qquad F(s)=\frac1{s^2}+\frac2{s+1}\quad(\operatorname{Re}s>0).$$

$$\text{(2)(ii)}\quad f(t)=t+2e^{-t}\qquad(t\ge0).$$

問4

$\operatorname{Re}s>0$ に対して、各半周期の積分を足すと

$$\begin{aligned} F(s) &=\sum_{m=0}^\infty\left[ \int_{2ma}^{(2m+1)a}e^{-st}\,dt- \int_{(2m+1)a}^{2(m+1)a}e^{-st}\,dt\right]\\ &=\frac{(1-e^{-as})^2}s\sum_{m=0}^\infty e^{-2mas}\\ &=\boxed{\frac{1-e^{-as}}{s(1+e^{-as})}} =\frac1s\tanh\frac{as}{2}. \end{aligned}$$