東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

実列ベクトル $\boldsymbol a$ に対して $\|\boldsymbol a\|=\sqrt{\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol a}$ とする。$\mathsf T$ は転置を表し、$I$ は単位行列を表す。（40分）

問1

$m\times n$ 実行列 $A$ の列ベクトルは一次独立である。$\boldsymbol b$ を $m$ 次元の実列ベクトル、$\boldsymbol x$ を $n$ 次元の実列ベクトルとする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(1) $m,n$ の関係を不等式で表せ。

(2) 与えられた $A,\boldsymbol b$ に対して $\|A\boldsymbol x-\boldsymbol b\|^2$ を最小化する $\boldsymbol x$ を $\hat{\boldsymbol x}$ とする。$\hat{\boldsymbol x}$ を $A,\boldsymbol b$ を用いて表せ。

(3) $A=QR$ と分解できる。ここで $Q$ は $Q^{\mathsf T}Q=I$ を満たす $m\times n$ 実行列、$R$ は $n\times n$ 上三角行列である。次の $A$ に対して $Q$ を一つ求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\\sqrt2&\sqrt2&\sqrt2\\0&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}.$$

(4) 次の空欄 $\mathrm{i},\mathrm{ii}$ に入る式を $Q,\boldsymbol b$ を用いて表せ。

$$\|A\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol b\|^2 =\|\boxed{\mathrm{i}}\|^2-\|\boxed{\mathrm{ii}}\|^2.$$

問2

$xyz$ 直交座標系上の三点 $(2,1,\sqrt2),(2,\sqrt2,2),(1,0,1)$ を考える。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(1) 三点を通る平面 $P$ の方程式を $x,y,z$ を用いて表せ。

(2) $P$ 上の任意の点を $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^{\mathsf T}$ とし、原点周りの回転を表す行列を $R$ とする。$P$ を $R\boldsymbol p$ により変換した平面 $P'$ の方程式が $z=1$ となるとき、$R$ を求めよ。

問3

$$A=\begin{pmatrix}-2&-2\\-1&0\\0&1\\3&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\\0&1\\-2&0\end{pmatrix}$$

とし、$\boldsymbol x,\boldsymbol y$ を二次元の実列ベクトルとする。(1),(2) は答えのみ、(3) は導出の過程も示せ。

(1) $A^{\mathsf T}A$ を求めよ。

(2) $\|\boldsymbol x\|=1$ の下で $\|A\boldsymbol x\|^2$ の最大値を求めよ。

(3) $\|A\boldsymbol x\|=\|B\boldsymbol y\|=1$ の下で $(A\boldsymbol x)^{\mathsf T}(B\boldsymbol y)$ の最大値を求めよ。

题目描述

对实列向量定义 $\|\boldsymbol a\|=\sqrt{\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol a}$，$\mathsf T$ 表示转置，$I$ 为单位矩阵。（40分钟）

问1　$m\times n$ 实矩阵 $A$ 的列向量线性无关，$\boldsymbol b\in\mathbb R^m,\boldsymbol x\in\mathbb R^n$。以下只写答案。

(1) 用不等式表示 $m,n$ 的关系；(2) 将使 $\|A\boldsymbol x-\boldsymbol b\|^2$ 最小的 $\hat{\boldsymbol x}$ 用 $A,\boldsymbol b$ 表示。

(3) $A=QR$，其中 $Q\in\mathbb R^{m\times n}$ 满足 $Q^{\mathsf T}Q=I$，$R$ 为 $n\times n$ 上三角矩阵。对

$$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\\sqrt2&\sqrt2&\sqrt2\\0&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}$$

求一个 $Q$。

(4) 将 $\|A\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol b\|^2=\|\boxed{\mathrm{i}}\|^2-\|\boxed{\mathrm{ii}}\|^2$ 的两个空栏用 $Q,\boldsymbol b$ 表示。

问2　考虑三点 $(2,1,\sqrt2),(2,\sqrt2,2),(1,0,1)$。以下只写答案。(1) 求过三点的平面 $P$；(2) 求绕原点的旋转矩阵 $R$，使平面 $P$ 上任意点 $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^{\mathsf T}$ 经 $R\boldsymbol p$ 变换后构成平面 $z=1$。

问3　设

$$A=\begin{pmatrix}-2&-2\\-1&0\\0&1\\3&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\\0&1\\-2&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol x,\boldsymbol y\in\mathbb R^2.$$

(1) 求 $A^{\mathsf T}A$；(2) 求 $\|\boldsymbol x\|=1$ 时 $\|A\boldsymbol x\|^2$ 的最大值；(3) 求 $\|A\boldsymbol x\|=\|B\boldsymbol y\|=1$ 时 $(A\boldsymbol x)^{\mathsf T}(B\boldsymbol y)$ 的最大值。(1),(2) 只写答案，(3) 还须写出推导。

Kai

問1

$$\text{(1)}\quad m\ge n,\qquad \text{(2)}\quad\hat{\boldsymbol x}=(A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\boldsymbol b.$$

$$\text{(3)}\quad Q=\begin{pmatrix} \frac12&-\frac12&0\\ \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\ 0&0&1\\ -\frac12&\frac12&0 \end{pmatrix}.$$

$$\text{(4)}\quad\mathrm{i}=\boldsymbol b,\qquad\mathrm{ii}=Q^{\mathsf T}\boldsymbol b.$$

問2

$$\text{(1)}\quad x-\sqrt2y+z=2.$$

$$\text{(2)}\quad R=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\ \frac12&\frac1{\sqrt2}&\frac12\\ \frac12&-\frac1{\sqrt2}&\frac12 \end{pmatrix}.$$

問3

$$\text{(1)}\quad A^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}14&7\\7&6\end{pmatrix},\qquad \text{(2)}\quad10+\sqrt{65}.$$

(3) コーシー・シュワルツの不等式から

$$(A\boldsymbol x)^{\mathsf T}(B\boldsymbol y) \le\|A\boldsymbol x\|\|B\boldsymbol y\|=1.$$

ここで

$$\boldsymbol x=\frac1{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol y=\frac1{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$$

とすると、$A\boldsymbol x=B\boldsymbol y=(-4,-1,1,4)^{\mathsf T}/\sqrt{34}$ は単位ベクトルである。したがって最大値は $\boxed{1}$。